2. 複素数の演算
tctyam2次方程式の解
2次方程式の解の公式は暗記するのではなく、平方完成から求められることを理解することが大切である。以下は解の公式導出の概要であるので厳密な議論は省略している。
ax^2+bx+c=0 より、a\not=0として、両辺をaで割って x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 となる。 ただし、a,b,cは実数とする。
従って、 (x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}=0 (x+\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}
整理すると (x+\frac{b}{2a})^2=(\frac{b^2-4ac}{4a^2}) よって、 x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
以上より、 x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
なお、 D=b^2-4ac<0 のときは、解は複素数となり、必ず共役複素数となる。
複素数の基本的な演算
複素数の演算では、複素平面（ガウス平面）を念頭に置いて考えると良い。また、オイラーの公式は良く使うので、成り立ちを含めて理解しておくと様々な場面で役に立つ。
z=a+jb 図より、
| z |=r=\sqrt{a^2+b^2} , a=r\cos\theta , b=r\sin\theta
z=a+jb=r\cos\theta+jr\sin\theta
=r(\cos\theta+j\sin\theta)=re^{j\theta}
\tan\theta → \theta=arg(z)=\tan^{-1}(\frac{b}{a})
z=a-jb が共役複素数
（実部が等しくて虚部の符号が反対）
z+\bar{z}=(a+jb)+(a-jb)=2a , z \cdot \bar{z}=(a+jb) \cdot (a-jb)=a^2+b^2=r^2
\frac{c+jd}{a+jb}=\frac{r_1 e^{j\theta_1}}{r_2 e^{j\theta_2} }=\frac{r_1}{r_2}e^{j(\theta_1-\theta_2)} , \theta_1-\theta_2=\tan^{-1}\frac{d}{c}-\tan^{-1}\frac{b}{a}
\frac{(c+jd)(a-jb)}{(a+jb)(a-jb)}=\frac{(ac+bd)+j(ad-bc)}{a^2+b^2} , r=\sqrt{(\frac{ac+bd}{a^2+b^2})^2+(\frac{ad-bc} {a^2+b^2})^2}=\frac{\sqrt{c^2+d^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{r_1}{r_2}
\theta=\theta_1-\theta_2=\tan^{-1}(\frac{ad-bc}{ac+bd})
※制御工学や電気工学では、一般に虚数単位はjを使う
