6. ラプラス変換の性質

\(F_1(s)=\mathcal{L}\{f_1(t)\}\)　,　\(F_2(s)=\mathcal{L}\{f_2(t)\}\)　
のとき、
\( \mathcal{L}\{af_1(t)+bf_2(t)\}=aF_1(s)+ bF_2(s) \)
\(\forall a,b \in R\)

２つの時間関数を加えたあとラプラス変換しても、それぞれラプラス変換したあとに加えても、結果はおなじであることを意味する。

ラプラス変換の定義から分かるようにラプラス変換された関数では、線形性が成り立つ。この性質は、微分方程式をラプラス変換することで、代数演算により解を導くことができることにつながる重要な性質である。

微分

\(\mathcal{L}\{f^{'}(t)\}=\int_0^{\infty}f^{'}(t)e^{-st}dt\\ =\left[f(t)e^{-st}\right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty}f(t)(-s)e^{-st}dt \\=-f(0) + sF(s) \)

初期値を０とすると　\(F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}\)　で\(\frac{d}{dt} \rightarrow s \)　と考えればよい。
例えば、\(\frac{d^2 f(t)}{dt^2} \rightarrow s^2F(s)\)　となる。

積分

\(\mathcal{L}\{\int_0^t f(\tau) d\tau \}=\int_0^{\infty}(\int_0^t f(\tau)d\tau )e^{-st}dt \\ =\left[(\int_0^t f(\tau)d\tau)(-\frac{1}{s})e^{-st}\right]_0^{\infty} \\ - \int_0^{\infty}\frac{d}{dt}(\int_0^t f(\tau)d\tau)(-\frac{1}{s})e^{-st}dt \\ =0 +\frac{1}{s}\int_0^{\infty} f(t)e^{-st}dt \\ =\frac{1}{s}F(s)\)

\(F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}\)　で \(\int dt \rightarrow \frac{1}{s} \)　と考えればよい。

最終値定理

$$f(\infty)=\lim_{s\rightarrow0}sF(s)$$
$$\int_{0}^{\infty}\frac{df(t)}{dt}e^{-st}dt=sF(s)-f(0)$$ $$ \lim_{s\rightarrow0}\int_{0}^{\infty}\frac{df(t)}{dt}e^{-st}dt =\lim_{s\rightarrow0}sF(s)-f(0)$$ $$\int_{0}^{\infty}\frac{df(t)}{dt}\cdot1dt=\lim_{s\rightarrow0}sF(s)-f(0)$$ $$\int_{f(0)}^{f(\infty)}df(t)=\lim_{s\rightarrow0}sF(s)-f(0)$$ $$f(\infty)-f(0)=\lim_{s\rightarrow0}sF(s)-f(0)$$ よって、$$f(\infty)=\lim_{s\rightarrow0}sF(s)$$

※制御系の定常特性の解析に重要な定理である。

初期値定理

$$f(0)=\lim_{s\rightarrow\infty}sF(s)$$
$$\int_{0}^{\infty}\frac{df(t)}{dt}e^{-st}dt=sF(s)-f(0)$$ $$f(0)=sF(s)-\int_{0}^{\infty}\frac{df(t)}{dt}e^{-st}dt$$ $$f(0)=\lim_{s\rightarrow\infty}sF(s)-\lim_{s\rightarrow\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{df(t)}{dt}e^{-st}dt$$ $$\lim_{s\rightarrow\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{df(t)}{dt}e^{-st}dt=0$$ よって、$$f(0)=\lim_{s\rightarrow\infty}sF(s)$$