8. 動的システム

システムとは、特定の機能を有する要素が複数個相互結合したものをいう。
基礎制御工学（古典制御理論）では、要素への入力、出力に着目し、その数学モデルは、入出力関係を主に微分方程式を使って数学的に表現したものになる。

数学モデルの例（電気系の動的システム）

インダクタ（コイル）：インダクタ L の端子間電圧 v(t) は流れる電流i(t)の時間変化に比例する。

$$\frac{di(t)}{dt}=\frac{1}{L}v(t)$$ $$v(t)=L\frac{di(t)}{dt}$$

キャパシタ（コンデンサ）：キャパシタ C の端子間電圧 v(t) は流れた電流 i(t) の時間積分（電荷）に比例する。

$$i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}$$ $$v(t)=\frac{1}{C}\int i(t)dt=\frac{q}{C}$$

R-C回路の入出力関係
$$v_i(t)=R i(t) + v_o(t)$$ $$i(t)=C\frac{dv_o(t)}{dt} $$ $$RC\frac{dv_o(t)}{dt} + v_o(t) = v_i(t)$$

R-L-C回路の入出力関係
$$R i(t)+L\frac{di(t)}{dt} + v_o(t) = v_i(t)$$ $$i(t) = C\frac{dv_o(t)}{dt}　,　\frac{di(t)}{dt}=C\frac{d^2v_o(t)}{dt^2}$$ $$LC\frac{d^2v_o(t)}{dt^2} +RC\frac{dv_o(t)}{dt} +v_o(t) = v_i(t)$$

数学モデルの例（機械系の動的システム）

変位：\(x(t)\) 　　　　速度：\(v(t)\)　　　　力：\(f(t)\) とする。
よって、　加速度：　\( \frac{dv(t)}{dt}=\frac{d^2x(t)}{dt^2} \)

基本的な各機械要素は次のような数式モデルで表される。

＊ダンパー
$$v(t)=\frac{1}{B}f(t)$$
\(B\)：粘性抵抗係数

＊質量
$$f(t)=M\frac{d^2x(t)}{dt^2}$$ $$\frac{dv(t)}{dt}=\frac{1}{M}f(t)$$ $$v(t)=\frac{1}{M}\int f(t)dt $$

＊ばね
$$f(t)=K x(t)$$ $$v(t)=\frac{1}{K}\frac{df(t)}{dt}$$

直動機械の質量、ダンパー、ばね力学系の数式モデル

$$M\frac{d^2x(t)}{dt^2}=f(t)-B\frac{dx(t)}{dt}-Kx(t)$$ $$M\frac{d^2x(t)}{dt^2} + B\frac{dx(t)}{dt} + Kx(t)=f(t)$$