17. 安定判別

安定条件と安定判別

伝達関数$G(s)$をもつシステムが安定であるための条件は、$G(s)$の分母多項式＝０、すなわち特性方程式の根の実部が負であることである。
このことから、例えば一次遅れ要素であればその特性方程式は$d(s)=s+a=0$なので、特性根は$p=-a$となるので$a\gt0$のとき特性根が負の実根となり、$G(s)$は安定と判別できる。二次遅れ要素の場合は、特性方程式は$d(s)=s^2+a_1s+a_0=0$なので、特性根$p_1,p_2$は $$p_1,p_2=\frac{-a_1\pm \sqrt{a_1^2-4a_0}}{2}$$ となる。従って、$a_1,a_0\gt0$であれば特性根の実部は負となるので、$G(s)$は安定と判別できる。また、$a_1,a_0$のどちらか一方が負か両方が負ならば不安定と判別できる。これより、特性方程式の係数$a_1,a_0$から安定判別できることになる。
特性方程式$d(s)=0$が3次以上になると根を求めることが難しくなり、５次以上では根と係数の解析的な関係はない（解の公式はない）。根が求められなくても特性方程式の係数から根の実数部がすべて負であるかどうかを判定することができ、それにより安定判別する手法がある。以下に特性方程式の係数から安定判別する代表的な方法である、ラウスの安定判別法を示す。フルビッツの安定判別法も有名だが本質的にラウスの安定判別法と同等なので、これについては参考文献を参照して欲しい。これらの安定判別法はアルゴリズムが明確であり、ラウス表の作成はScilabの関数routh_tにも実装されている。実際に扱う特性方程式の次数は高いので、アルゴリズムを実装したプログラムを利用するのが適していると思う。また、これらの安定判別法の利用法としては、使用例に示すように特性方程式が得られたシステムの安定条件の範囲を絞ることなどがある。

ラウスの安定判別法

特性方程式 $$a_0s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+\cdots$$ $$+a_{n-1}s+a_n=0$$ の各係数の符号が異なるか０がある場合は不安定と判別する。それ以外の場合は以下の表を作成する。

安定判別法の使用例

伝達関数$G(s)=\frac{n(s)}{d(s)}=\frac{1}{s^3+5s^2+6s+K}$において$G(s)$が安定となる$K$の範囲を求める。