23. フィードバックの安定性

フィードバック制御系では、入力から出力までの伝達関数（閉ループ伝達関数$T(s)$）は、開ループ伝達関数$L(s)=P(s)C(s)$とすると、 $$T(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)}=\frac{P(s)C(s)}{1+P(s)C(s)}$$ で表せる。
従って、$T(s)$の極は、$1+L(s)=0$の根となる。$1+L(s)=0$を特性方程式と呼び、その根を特性根と呼ぶ。この特性根は、閉ループ伝達関数$T(s)$の極となる。これより、全ての特性根（すなわち閉ループ伝達関数の極）が$Re\{p_i \} \lt 0$ （極の実部が負）であればフィードバック制御系は安定といえる。
特性方程式：$1+L(s)=0$ で、開ループ伝達関数$L(s)$は、 $$L(s)=\frac{q(s)}{p(s)}$$ $$q(s)=K(s - z_1)(s - z_2) \cdots (s - z_m)$$ $$p(s)=(s - p_1)(s - p_2) \cdots (s - p_n)$$ と表せ、閉ループ伝達関数$T(s)$は、 $$T(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)}=\frac{\frac{q(s)}{p(s)}}{1+\frac{q(s)}{p(s)}}=\frac{q(s)}{q(s)+p(s)}$$ と表せる。従って、閉ループ伝達関数$T(s)$の分母多項式は、 $$d(s)=q(s)+p(s)$$ $$=K(s - z_1)(s - z_2) \cdots (s - z_m)$$ $$+ (s - p_1)(s - p_2) \cdots (s - p_n)$$ となる。閉ループ伝達関数$T(s)$の全ての特性根（極）が複素平面の左半平面にあれば安定なので、特性方程式$d(s)=0$（sの高次方程式）にラウス・フルビッツの安定判別法を適用すれば、閉ループ伝達関数の安定性が分かる。（安定性の判別だけであれば、特性方程式の根の実部の正負が分かれば良いということになるので、ラウス・フルビッツの安定判別法の適用で良い。）

フィードバック制御系の安定判別の例

制御対象が$P(s)=\frac{1}{2s-1}$（不安定な制御対象）で、制御器を$C(s)=\frac{3}{s+1}$として、単位フィードバック制御系を構成する。このときの制御系の安定性を考える。
開ループ伝達関数は、 $$L(s)=P(s)C(s)=\frac{1}{2s-1} \cdot \frac{3}{s+1}$$ $$=\frac{3}{(2s-1)(s+1)}=\frac{q(s)}{p(s)}$$ となる。閉ループ伝達関数は、$T(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)}$となるので、特性方程式は、 $$1+L(s)=1+\frac{q(s)}{p(s)}=\frac{q(s)+p(s)}{p(s)}$$ $$=\frac{d(s)}{p(s)}=0$$ となる。整理すると特性方程式は、 $$d(s)=q(s)+p(s)=3+(2s-1)(s+1)$$ $$=2s^2+s+2=0$$ となる。この根（特性根）は、 $$\frac{-1\pm j\sqrt{15}}{4}$$ と求まる。特性根の実部（$-\frac{1}{4}$）が負なので、この制御系は安定である。

ナイキストの安定判別法

特性方程式より、 $$1+L(s)=\frac{q(s)+p(s)}{p(s)}$$ $$=\frac{(s - l_1)(s - l_2) \cdots (s - l_n)}{(s - p_1)(s - p_2) \cdots (s - p_n)}=0$$ つまり、特性方程式$1+L(s)=0$の全ての零点${l_1, l_2, \cdots , l_n}$が複素平面の左半平面にあれば安定ということになる。(閉ループ伝達関数の全ての極が左半平面にあれば安定ということ）
このことより、開ループ伝達関数$L(s)=\frac{q(s)}{p(s)}$より、$p(s)+q(s)$（つまり、開ループ伝達関数$L(s)$の分母多項式と分子多項式）で安定判別が可能といえる。

ナイキストの安定判別法（１）

$L(s)$の不安定極の数を$p$個とする。　$s \rightarrow j\omega$とおいて、$\omega = -\infty \sim +\infty$として、$L(j\omega)$の描くナイキスト軌跡が$n$回　$L(s)$平面上の点（－１，$j0$ ）を反時計方向に回るとする。このとき、$z=p-n=0$ が成立すればフィードバック制御系は安定である。

※詳細を追記予定。

ナイキストの安定判別法（２）

フィードバック制御による安定化の例

制御対象を$P(s)=\frac{1}{3s-6}$とする。このとき、特性方程式は$3s-6=0$なので極は$2$となり複素平面の右半平面に極があるので不安定な制御対象とわかる。インパルス応答を求めると、 $$g(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{3s-6}\right\}$$ $$=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{\frac{1}{3}}{s-2}\right\}$$ $$=\frac{1}{3}e^{2t}$$ となり、$t \rightarrow \infty$で発散する。このことからも制御対象$P(s)$が不安定であることがわかる。
制御器を$C(s)=K$(ゲイン制御）として、フィードバック制御を構成すると閉ループ伝達関数は、 $$T(s)=\frac{KP(s)}{1+KP(s)}=\frac{\frac{K}{3s-6}}{1+\frac{K}{3s-6}}$$ $$=\frac{K}{3s-6+K}$$ となる。このとき特性方程式は、$3s-6+K=0$になるので、特性根（閉ループ伝達関数の極）が負になるためには、$K \gt 6$が安定条件となる。
例えば、$C(s)=K=10$とすると $$T(s)=\frac{10}{3s+4}=\frac{10}{3}\cdot \frac{1}{s+\frac{4}{3}}$$ となり、インパルス応答は $$g(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{T(s)\right\}=\frac{10}{3}e^{-\frac{4}{3} t}$$ となり、制御系が安定となることがわかる。
しかし、単位ステップ応答は $$y(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{10}{3s+4} \cdot \frac{1}{s}\right\}=\frac{5}{2}-\frac{5}{2}e^{-\frac{4}{3} t}$$ となり、$y(\infty )=\frac{5}{2}$となる。つまり、単位ステップ $1$ に一致しない、定常偏差が生じることになる。よって、$C(s)=K$(ゲイン制御）では安定化できても制御器としては不十分ということになる。