25. 代表極（代表根）と応答特性

制御系の主な応答特性（インパルス応答、ステップ応答、周波数特性など）を決めるのは代表極（代表根）である。代表極に関して例を見ながら説明する。

制御系の極とインパルス応答

代表的な制御対象は1次遅れ要素や2次遅れ要素であるが、それ以上の高次の制御対象はどのように考えれば良いだろうか。まず、制御対象の伝達関数における極とインパルス応答の関係から、主要な特性を決める代表極（代表根）について考える。

極が実数の場合のインパルス応答

【例】\(G(s)=\frac{K}{s+a}\)で与えられる伝達関数（1次遅れ要素）を考える。
極は特性方程式\(s+a=0\)より、\(-a\) である。また、インパルス応答は、$$g(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{G(s)\right\}=Ke^{-at}$$となる。従って、
＊\(a \gt 0\)のとき、十分に時間が経ったインパルス応答は\(g(\infty)=0\)となり、この制御系は安定である。極は複素平面の左半平面にあり\(|a|\)が大きいほど速く収束する。
＊\(a=0\)のとき、\(g(t)=K\)となり、安定限界である。
＊\(a \lt 0\)のとき、インパルス応答は時間の経過とともに\(g(\infty)=\infty\)となり、制御系は不安定となる。極は複素平面の右半平面にあり\(|a|\)が大きいほど速く発散する。
※極が複素平面の左半平面にあり虚軸に近いほど、長い時間、インパルス応答が0に収束しないことになる。つまり、ゆっくりとした時間応答特性になる。逆に虚軸から遠い極であれば、インパルス応答は速く0に収束する。つまり、速い時間応答、素早い動作となる。

極が複素数の場合のインパルス応答

【例】\(G(s)=\frac{\omega}{s^2 + 2as + a^2 + \omega^2}\)の制御対象（2次遅れ要素）を考える。(\(a , \omega\)は実数とする。）
特性方程式\(s^2 + 2as + a^2 + \omega^2=0\)より、特性根は\(s=-a \pm \sqrt{a^2-(a^2 + \omega^2)} =-a \pm j\omega\)となる。従って、極は\(-a \pm j\omega\)である。
$$G(s)=\frac{\omega}{s^2 + 2as + a^2 + \omega^2}$$ $$=\frac{\omega}{(s + a)^2 + \omega^2} $$ なので、インパルス応答は、$$g(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{G(s)\right\}=e^{-at}\sin \omega t $$となる。
＊\(a \gt 0\)のとき、インパルス応答は減衰振動となる。十分に時間が経ったインパルス応答は\(g(\infty)=0\)なので、制御系は安定である。極は複素平面の左半平面にあり\(|a|\)が大きいほど速く収束する。また、\(\omega\)が大きいほど 速い振動で0に収束する。
＊\(a=0\)のとき、\(g(t)=\sin \omega t\)となり、インパルス応答は定常振動となる。これは安定限界である。また、\(\omega\)が大きいほど 速い振動となる。
＊\(a \lt 0\)のとき、インパルス応答は発散振動となる。インパルス応答は時間の経過とともに\(g(\infty)=\infty\)となり、制御系は不安定である。極は複素平面の右半平面にあり\(|a|\)が大きいほど速く発散する。また、\(\omega\)が大きいほど 速い振動で発散する。

代表極による特性の違い

代表極（代表根）の複素平面上の位置による特性（時間応答特性、周波数特性）の違いを具体例で見る。代表極は制御系の応答特性に影響を与える時間が長い極であり、それは虚軸に近い極である。