27. 定常特性と内部モデル原理

ラプラス変換の最終定理は定常偏差を求めるのに使われる。
$$\lim_{t \rightarrow \infty} f(t)=\lim_{s \rightarrow 0}s \cdot F(s)$$
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導関数のラプラス変換より、
$$\int_0^\infty \frac{df(t)}{dt}e^{-st}dt=sF(s)-f(0)$$ $$\lim_{s \rightarrow 0} \int_0^\infty \frac{df(t)}{dt}e^{-st}dt=\lim_{s \rightarrow 0}sF(s)-f(0)$$ $$\int_0^\infty \frac{df(t)}{dt} \cdot 1dt=\lim_{s \rightarrow 0} sF(s)-f(0)$$ $$\int_{f(0)}^{f(\infty)} df(t)=\lim_{s \rightarrow 0}sF(s)-f(0)$$ $$f(\infty)-f(0)=\lim_{s \rightarrow 0}sF(s)-f(0)$$ $$f(\infty)=\lim_{s \rightarrow 0}sF(s)$$

※導関数（微分）のラプラス変換
$$\mathcal{L}\left\{\frac{df(t)}{dt}\right\}=\int_0^\infty \frac{df(t)}{dt}e^{-st}dt$$ $$=\left[f(t)e^{-st}\right]_0^\infty -\int_0^\infty f(t)\left(\frac{d}{dt}e^{-st}\right)dt$$ $$=\left[0 - f(0)\right]-(-s)\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$$ $$=s\mathcal{L} \left\{f(t) \right\}-f(0)$$ $$=sF(s)-f(0)$$

単位フィードバック制御系で考える。
偏差は、\(E(s)=R(s) - Y(s)\)となる。\(Y(s)=C(s)P(s)E(s)\)なので、\(E(s)=R(s) - C(s)P(s)E(s)\) となり、式を整理すると\(\{1+C(s)P(s)\}E(s)=R(s)\)　よって、$$E(s)=\frac{1}{1+C(s)P(s)}R(s)$$　\(L(s)=C(s)P(s)\)　(\(L(s)\)：開ループ伝達関数）として、$$E(s)=\frac{1}{1+L(s)}R(s)$$ となる。$$S(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+L(s)}$$を感度関数という。感度関数\(S(s)\)は、目標値から偏差までの伝達関数である。偏差はs領域で\(E(s)=\frac{1}{1+L(s)}R(s)\)なので、十分に時間が経った時の偏差は、最終値定理より、$$e_s=\lim_{t \rightarrow \infty} e(t)=\lim_{s \rightarrow 0} s\cdot E(s)$$で求まる。

目標値がステップ信号の場合の定常偏差（定常位置偏差）

目標値がステップ信号の場合の定常偏差、定常位置偏差\(e_p\)は、ステップ信号\(r(t)\)のラプラス変換が\(R(s)=\frac{1}{s}\)なので、$$e_p=\lim_{s \rightarrow 0} s \cdot E(s)=\lim_{s \rightarrow 0}s \cdot \frac{1}{1+L(s)} \cdot R(s)$$ $$=\lim_{s \rightarrow 0}s \cdot \frac{1}{1+L(s)} \cdot \frac{1}{s}=\frac{1}{1+L(0)}=\frac{1}{1+K_p}$$となる。ここで、$$K_p=\lim_{s \rightarrow 0}L(s)=L(0)$$を位置偏差定数という。
※\(K_p\) すなわち\(L(0)\)の利得、すなわち 開ループのDCゲインを大きくすると定常位置偏差は小さくできることになる。

目標値がランプ信号の場合の定常偏差（定常速度偏差）

目標値がランプ信号の場合の定常偏差、定常速度偏差\(e_v\)は、ランプ信号\(r(t)\)のラプラス変換が\(R(s)=\frac{1}{s^2}\)なので、$$e_v=\lim_{s \rightarrow 0} s \cdot E(s)=\lim_{s \rightarrow 0}s \cdot \frac{1}{1+L(s)} \cdot R(s)$$ $$=\lim_{s \rightarrow 0}s \cdot \frac{1}{1+L(s)} \cdot \frac{1}{s^2}=\lim_{s \rightarrow 0} \frac{1}{s+sL(s)}$$ $$=\lim_{s \rightarrow 0}\frac{1}{sL(s)}=\frac{1}{K_v}$$となる。ここで、$$K_v=\lim_{s \rightarrow 0} sL(s)$$を速度偏差定数という。

目標値がパラボラ信号の場合の定常偏差（定常加速度偏差）

目標値がパラボラ信号の場合の定常偏差、定常加速度偏差\(e_a\)は、パラボラ信号\(r(t)\)のラプラス変換が\(R(s)=\frac{2}{s^3}\)なので、$$e_a=\lim_{s \rightarrow 0} s \cdot E(s)=\lim_{s \rightarrow 0}s \cdot \frac{1}{1+L(s)} \cdot R(s)$$ $$=\lim_{s \rightarrow 0}s \cdot \frac{1}{1+L(s)} \cdot \frac{2}{s^3}=\lim_{s \rightarrow 0} \frac{2}{s^2+s^2L(s)}$$ $$=\lim_{s \rightarrow 0}\frac{2}{s^2 L(s)}=\frac{2}{K_a}$$となる。ここで、$$K_a=\lim_{s \rightarrow 0} s^2 L(s)$$を加速度偏差定数という。

定常偏差を０にするには（内部モデル原理）

目標値に対する偏差は、$$E(s)=S(s)R(s)=\frac{1}{1+L(s) } R(s)$$である。
＊目標値がステップ信号の場合の定常偏差（定常位置偏差）は、$$e_p=\frac{1}{1+L(0)}=\frac{1}{1+K_p}$$なので、$$K_p=\lim_{s \rightarrow 0}L(s)=L(0)$$において、\(K_p \rightarrow \infty\)で定常位置偏差\(e_p\)は\(0\)になる。これを実現するには、\(L(s)\)に\(\frac{1}{s}\)(積分要素）が含まれているとよいことになる。
＊目標値がランプ信号の場合の定常偏差（定常速度偏差）は、$$e_v=\frac{1}{s+sL(s)}=\frac{1}{sL(s)}=\frac{1}{K_v}$$なので、$$K_v=\lim_{s \rightarrow 0}sL(s)$$において、\(K_v \rightarrow \infty\)で定常速度偏差\(e_v\)は\(0\)になる。これを実現するには、\(L(s)\)に\(\frac{1}{s^2}\)(2重積分要素）が含まれているとよいことになる。
＊目標値がパラボラ信号の場合の定常偏差（定常加速度偏差）は、$$e_a=\frac{2}{s^2+s^2L(s)}=\frac{2}{s^2L(s)}=\frac{2}{K_a}$$なので、$$K_a=\lim_{s \rightarrow 0}s^2 L(s)$$において、\(K_a \rightarrow \infty\)で定常加速度偏差\(e_a\)は\(0\)になる。これを実現するには、\(L(s)\)に\(\frac{1}{s^3}\)(3重積分要素）が含まれているとよいことになる。

内部モデル原理とは、「開ループ伝達関数\(L(s)\)が追従したい目標値信号のモデルを含んでいるとき、定常偏差を０にできる。」というものである。開ループ伝達関数\(L(s)\)が積分要素\(\frac{1}{s}\)を１つ含んでいるとき1型、２つ含んでいるとき２型という。従って、目標値信号がステップ信号（\(\frac{1}{s}\))のとき、\(L(s)\)が1型であれば、定常偏差を０にできることになる。