29. ゲイン補償器

ゲイン補償は、\(L(s)\)の利得調整だけで制御系の特性を改善する 手法である。制御対象が\(P(s)=\frac{1}{s(s+1)(s+3)}\)で、 補償器は\(C(s)=K\)なので、開ループ伝達関数は、$$L(s)=C(s)P(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+3)}$$であり、閉ループ伝達関数は、$$T(s)=\frac{L(s)}{1 + L(s)}=\frac{K}{s(s+1)(s+3)+K}$$である。特性方程式は、$$1 + L(s)=s(s+1)(s+3)+K$$ $$=s^3+4s^2+3s+K=0$$である。ラウスの安定判別から、\(0 \lt K \lt 12\) と制御系を安定にする\(K\)の範囲が分かる。
開ループ伝達関数が\(L(s)=C(s)P(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+3)}\)と1型系なので、内部モデル原理より定常位置偏差\(e_p=0\)である。
制御仕様の定常速度偏差\(e_v=0.5\)を満たすには、\(e_v=\frac{1}{K_v}=0.5\)　\(K_v=2\) $$Kv=\lim_{s \rightarrow 0} sL(s)=\lim_{s \rightarrow 0}\frac{K}{(s+1)(s+3)}$$ $$=\frac{K}{3}=2$$ よって、\(K=6\)となる。以上より、開ループ伝達関数は、$$L(s)=\frac{6}{s(s+1)(s+3)}$$閉ループ伝達関数は、 $$T(s)=\frac{6}{s(s+1)(s+3)+6}$$となる。しかし、このゲイン補償では\(L(s)=KP(s)\)のボード線図からわかるように、制御仕様の位相余裕\(p_m=45^{°}\)程度、ゲイン余裕\(g_m=12dB\)程度を満たすことができない。ステップ応答から分かるようにゲイン\(K=6\)（赤線）にすると行き過ぎ量が大きくなり安定性が悪くなる。
制御仕様を満たすにはゲインを下げる必要があるが、ゲインを下げると定常速度偏差\(e_v=0.5\)の仕様を満たすことができない。以上よりゲイン補償だけでは、制御仕様を満たせないことになる。

ゲイン補償（Scilabスクリプト）

//ゲイン補償器
clear; clf();
s=%s;
//制御対象P(s)の周波数応答
P=1/(s*(s+1)*(s+3));
Ps=syslin('c',P);
scf(0);
bode(Ps,'rad');
//ゲイン補償
K=6;
L=K*P;
Ls=syslin('c',L);
scf(1);
//ゲイン補償したときのL(s)周波数応答
bode(Ls,'rad');
scf(2);
//ゲイン補償したときのT(s)周波数応答
T=(K*P)/(1+K*P);
Ts=syslin('c',T);
bode(Ts,'rad');
scf(3);
//Kを変化させたときのステップ応答変化
for K=1:1:6
T1=(K*P)/(1+K*P);
T1s=syslin('c',T1);
t=0:0.1:20;
y1=csim('step',t,T1s) ;
plot(t,y1);xgrid;
end;