34. 根軌跡法

根軌跡法では、変化させることができるパラメータはゲイン\(K\)だけなので、制御系全体の構成、例えば、位相進み補償器などを決定した後に、ゲイン調整する際に使うのが適している。

根軌跡の例

\(L(s)=C(s)P(s)=\frac{1}{s(s+4)}\)にゲイン補償\(K\)を直列に入れる。この時、閉ループ伝達関数は、$$T(s)=\frac{KL(s)}{1 + KL(s)}=\frac{K}{s(s+4)+K}$$となる。特性方程式は、$$s(s+4)+K=s^2+4s+K=0$$なので、特性根（ \(T(s)\)の極 ）は、$$p = -2 \pm \sqrt{4 - K}$$である。\(K \lt 0 \)のとき、特性根の実部が正となるため制御系は不安定となる。
根軌跡（\(K \ge 0\)による根の変化）は、\(K=0\)の時の根\([0, -4]\)から根\(-2\) (重根）に向かって変化して、そこから\(p=-2 \pm j\sqrt{K - 4}\) （共役複素根）の2方向に分岐していく。この例の場合、\(K\)が大きくなっても安定であるが、根の虚部が大きくなるので、時間応答特性では振動が大きくなる。

特性方程式は、$$1 + L(s) =0 ,\enspace \enspace L(s)=KC(s)P(s)$$で、$$L(s)=\frac{K(s-z_1)(s-z_2) \cdots (s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2) \cdots (s-p_n)}$$ $$(n \ge m)$$なので、$$(s-p_1)(s-p_2) \cdots (s-p_n)$$ $$+ K(s-z_1)(s-z_2) \cdots (s-z_m) = 0$$となる。\(K\)を\(0 \sim \infty\)まで変化させ、根を求めて複素平面上に描画する。
・根軌跡は実軸に対して対称。（代数方程式の複素数の根は共役複素数となるから）
・根軌跡は\(n\)本の枝からなる。各枝は、\(L(s)\)の極\({p_1,p_2, \cdots ,p_n}\)より出発し、\(m\)本は零点\({z_1,z_2, \cdots ,z_m}\)に終わり、残りの\((n-m)\)本は無限遠点に向かう。
（詳細を追記予定です。）

根軌跡（Scilabスクリプト）

開ループ伝達関数\(L(s)\)は、$$L(s)=\frac{s+2}{s(s+1)(s+3)}$$なので、極は\({0, -1, -3}\)で、零点は、\({-2}\)で、根軌跡は\({0, -1, -3}\)より出発し、1本は\({-2}\)に終わり（黒の線）、2本は無限遠点に向かう（青と緑の線）。

//根軌跡法
clear;clf();
s=%s;
//開ループ伝達関数
L=(s+2)/(s*(s+1)*(s+3));
Ls=syslin('c',L);
scf(0);
//根軌跡
evans(Ls,30);sgrid(); /*30は最大ゲイン*/

for K=1.0:2.0:9
L2=K*L;
L2s=syslin('c',L2);
scf(1);
gainplot(L2s,10^-3,10^2); /*利得線図*/
scf(2);
phaseplot(L2s,10^-3,10^2); /*位相線図*/
T=L2/(1+L2); /*閉ループ伝達関数*/
Ts=syslin('c',T);
t=0:0.1:10;
y=csim('step',t,Ts); /*ステップ応答*/
scf(3);
plot2d(t,y,2);xgrid;
end