40. モータのモデル化（２）

電気ー機械系の典型である電気モータの数学モデルに関して説明する。リニア型モータとロータリー型モータについてその数式モデルを考える。

リニア型（非回転型）モータ

モータのモデルとして比較的簡単なリニア型（非回転型）モータについて、その数式モデルを説明する。リニア型モータの例としてHDD（Hard Disk Drive）のアクチュエータとして使われているVCM（ボイスコイルモータ）を紹介する。

電気回路の方程式で、\(v_b(t)\)はコイルの移動に伴う逆起電力である。これは磁場中でコイルが動くことで生じる起電力でフレミングの右手の法則に従う（発電機の原理）。　この逆起電力は、コイルの移動速度に比例するため、速度\(v(s)\)が速いほど大きくなるので、ダンパーとして働くことになる。

\(D(s)=0\)として考える。$$F(s)=\frac{K_m}{R + Ls}\left\{V_a(s) - V_b(s)\right\}$$ $$x(s) =\frac{F(s)}{Ms^2} \enspace \enspace F(s)=Ms^2 x(s) \enspace \enspace V_b(s) = K_bv(s) = K_bsx(s)$$ 一般に機械系の時定数に比較して、電気系の時定数は十分に小さいので、\(L \approx 0\)とみなせる。従って、$$Ms^2x(s) = \frac{K_m}{R}V_a(s) - \frac{K_m}{R}V_b(s) = \frac{K_m}{R}V_a(s) - \frac{K_m}{R}K_bsx(s)$$ $$\left\{Ms^2 + \frac{K_mK_b}{R}s\right\}x(s) = \frac{K_m}{R}V_a(s) \enspace \enspace (K=K_m=K_b)$$　また、時定数：\(\tau \left[s\right]\) 　\(\tau = \frac{MR}{K^2}\)である。
伝達関数は、$$G(s) = \frac{x(s)}{V_a(s)} = \frac{\frac{K}{R}}{Ms^2 + \frac{K^2}{R}s} = \frac{K}{MRs^2 +K^2s}$$ $$=\frac{K}{s(MRs + K^2)} = \frac{\frac{1}{K}}{s\left(\frac{MR}{K^2}s +1\right)} = \frac{\frac{1}{K}}{s(\tau s +1)}$$である。以上より、VCMへの入力電圧から変位（位置変化）までの伝達関数は、$$G(s)=\frac{\frac{1}{K}}{s(\tau s +1)}$$ となる。
この伝達関数は、基本構造の伝達関数で、実際には機構の高次機械共振などが付加される。

DCサーボモータの数式モデル

DCサーボモータには様々なタイプがあるが、駆動方式で分類すると、界磁電流制御型と電機子電流制御型に分かれる。ここでは、この2方式のモデルを紹介する。

DCモータトルクの微分方程式

界磁電流制御方式のモデル

以下モータトルクなどはラプラス変換形式で表すこととする。
電機子電流は定電流（\(i_a(t)=I_a\) ：一定の電流値)なので、$$T_m (s)=(K_1 K_f I_a ) I_f (s)=K_m I_f (s)$$となる。界磁電流は界磁印可電圧により決まるので、$$V_f(t) = R_f i_f (t) + L_f\frac{ di_f (t)}{dt}$$である。これをラプラス変換して、界磁電流を求めると $$I_f (s)=\frac{1}{R_f+L_f s} V_f (s)$$と表せる。また、負荷トルクはモータ回転機構部の慣性モーメント及び、動摩擦力から $$T_L (s)=Js^2\Theta (s)+Bs\Theta (s) = Js\Omega(s)+B\Omega(s)$$と表せる。

外乱トルク\(T_d (s)\)とすると\(T_L (s)=T_m (s) - T_d (s)\)である。\(T_d (s)=0\)とすると、$$T_L (s)=Js^2 \Theta (s)+Bs\Theta(s) =T_m (s) = K_m I_f (s)$$ \(\Theta(s) = \frac{K_m}{s(Js+B)}  I_f (s)\)  また、\(V_f (s)=(R_f+L_f s)I_f (s)\) 以上より、$$G(s)=\frac{\Theta(s)}{V_f (s)} = \frac{K_m}{s(Js+B)(L_f s+R_f)} $$ $$=\frac{\frac{K_m}{J L_f}}{s(s +\frac{B}{J})(s + \frac{R_f}{L_f})}$$ 界磁時定数（電気系時定数）\(\tau_f = \frac{L_f}{R_f}\) 　　機械系時定数　\(\tau_L = \frac{J}{B}\)　とおくと、$$G(s) = \frac{ \frac{K_m}{BR_f}}{ s (\tau_f s+1)(\tau_L s+1)}$$ \(\tau_L \gt \tau_f\)  なので、多くの場合界磁時定数は無視できる。

電機子電流制御方式のモデル

界磁電流は定電流（\(i_f(t)=I_f\)：一定の電流値）なので、$$T_m (s) = (K_1 K_f I_f ) I_a (s) = K_m I_a (s)$$ 電機子電圧は電機子印可電圧と逆起電力\(V_b (s)\)から決まるので、$$V_a (s)=(R_a + L_a s) I_a (s)+V_b (s)   \enspace \enspace   V_b (s) = K_b \omega(s)$$ よって、$$I_a (s)=\frac{V_a (s)-K_b \omega(s)}{R_a+L_a s}$$
負荷トルクはモータ回転機構部の慣性モーメント及び、動摩擦力から$$T_L (s) = Js^2 \Theta(s)+Bs\Theta(s)=T_m (s) - T_d (s)$$

\(T_d (s) = 0\)とすると、$$G(s)=\frac{\Theta(s)}{V_a (s)} = \frac{K_m}{s[(R_a+L_a s)(Js+B)+K_b K_m ]}$$ $$=\frac{K_m}{s(s^2+2 \zeta \omega_n s+\omega_n^2 )}$$ 　電機子時定数（電気系時定数）　\(\tau_a = \frac{L_a}{R_a}\) 　であるが、多くの場合、電機子時定数は無視できるので、\(L_a=0\)として、$$G(s)=\frac{\Theta(s)}{V_a (s)} = \frac{K_m}{s[R_a (Js+B)+K_b K_m ]}$$ $$=\frac{[\frac{K_m}{(R_a B+K_b K_m ) }]}{s(\tau_1 s+1)}$$となる。ここで、\(\tau_1 = \frac{R_a J}{(R_a B+K_b K_m )}\)である。
さらに\(K = \frac{K_m}{R_aB + K_bK_m}\)　\(K_m = K_b\)とすると、$$G(s) = \frac{K}{s(\tau_1 s + 1)}$$ と表せる。

単位について

＊トルクの単位
トルクの単位は以前はkgf・m（重力単位系）が用いられていたが、1993年に施行された「新計量法」によりSI単位（ISO国際規格）への移行が義務づけられ、現在では力の単位はN（ニュートン）、トルクの単位はN・m（ニュートンメートル）となっている。
旧型のモータなどでは、重力単位系が使われているものがあり、慣性モーメントを\(GD^2\)で表している場合があるので注意が必要である。
\(GD^2=\)(重量) × (回転直径)²   [kgf・m²]                \(J= \frac{GD^2}{4}\) (重力単位ではない）
※ J = (質量) × (回転半径)²  [kg・ｍ^２]