2. 固有値と固有ベクトル

固有値

Scilabによる計算

正方行列\(\boldsymbol{A} \)（\(n \times n\)）において、$$\left|s \boldsymbol{ I - A} \right| = s^n + a_n s^{n-1} + a_{n-1} s^{n-1} $$ $$+ \cdots + a_2 s + a_1 =0 $$を特性方程式といい、この方程式を満たす\(n\)個の根 \( \lambda_1 , \lambda_2, \cdots , \lambda_n\)を\(\boldsymbol{A}\)の固有値という。

【例】$$ \boldsymbol{A} = \left[ \begin {array}{c c} 0 &1 \\ -2 & -2 \end{array} \right] $$ の特性方程式は、$$\left|s \boldsymbol{I - A} \right| = \left| \left[ \begin{array}{c c} s & 0 \\ 0 & s \end{array}\right] - \left[ \begin {array}{c c} 0 &1 \\ -2 & -2 \end{array} \right] \right|$$ $$=\left| \begin{array}{c c} s & -1 \\ 2 & s+2 \end{array} \right|=s^2 +2s +2 =0$$ この2次方程式を解いて、固有値は$$ \lambda_1 = -1+j \; \; \; \lambda_2 = -1 -j$$である。

固有ベクトル

\(\boldsymbol{A v}_i = \it{\lambda_i} \boldsymbol{ v_i}\) または、\( (\lambda_i \boldsymbol{I - A})\boldsymbol{v_i} =0 \)
\(\boldsymbol{v_i} \ne 0 \)　を満たす \( n \times 1 \)次元のベクトル\(\boldsymbol{v_i}\)を\(\lambda_i\)についての固有ベクトルという。

＊対角変換
固有値に重複したものがない時には、各固有値\(\lambda_i\)について、１つの固有ベクトル\(\boldsymbol{v_i}\)が存在し、かつ、それらの\( \boldsymbol{ v_1 , v_2, \cdots , v_n}\)は線形独立となる。$$\boldsymbol{T=(v_1, v_2, \cdots, v_n)}\; \; \; ( n \times n )$$とすると、$$\boldsymbol{T^{-1}AT=A=}\left[ \begin{array}{c c c c} \lambda_1 & & &0 \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \lambda_n \end{array}\right]$$となり、\(\boldsymbol{A}\)は対角行列（モード行列）に変換される。これを対角変換といい、\(\boldsymbol{T}\)を対角変換行列という。

＊固有値の計算
--> A=[0 1; -2 -2]
A =
　　0. 　1.
　　-2. 　-2.
--> spec(A)　　/*固有値を求める関数*/
ans =
　　-1. + 1.i
　　-1. - 1.i
※Scilabの虚数単位はi

＊固有ベクトルの計算

--> A
A =
　　0. 1.
　　-2. -2.
--> [T,L]=spec(A)　/*対角変換行列Tと固有値Lの計算*/
T =
column 1　　　　/*１列目*/
-0.4082483 - 0.4082483i
0.8164966 + 0.i
column 2　　　　/*２列目*/
-0.4082483 + 0.4082483i
0.8164966 + 0.i
L =
column 1　　　　/*１列目*/
　-1. + 1.i
　0. + 0.i
column 2　　　　/*２列目*/
　0.+ 0.i
　-1. - 1.i
--> T^(-1)AT 　/* 対角変換行列によるAの対角化*/
ans =
column 1　　　　/*１列目*/
-1. + i
-2.220D-16 + 9.626D-17i　　/* 0とみなせる*/
column 2　　　　/*２列目*/
-2.220D-16 - 9.626D-17i 　　/*０とみなせる*/
-1. - i