8. 離散時間システムの安定性

※「赤」で記した極は不安定極である。（単位円上の極は安定限界であるが、実用的には一般的に不安定である。）「青」で記した極は安定極である。極の配置によりインパルス応答の振る舞いは異なる。

一次関数

$$w=\frac{z-1}{z+1}$$ による写像を双一次変換という。これは$z$平面を$w$平面に写像することになり、$z$平面の複素平面の単位円内を$w$領域の複素平面の左半平面に写像することになる。$w$平面は連続時間系の$s$平面とは異なるが、$z$平面の単位円内（極の安定な領域）を複素平面の左半平面に写像するので、連続時間系の安定判別法が利用できる。（$z$平面、$w$平面、$s$平面ともに複素平面であるが、各平面上の点は異なる点に写像されることになる。）
$z=e^{j\theta}$とすると、$|z|=1$で単位円となる。このとき、 $$w=\frac{e^{j\theta}-1}{e^{j\theta}+1}=\frac{\cos \theta + j\sin \theta - 1}{\cos \theta + j\sin \theta +1}$$ $$= \frac{ \{(\cos \theta - 1 ) + j\sin \theta\}\{(\cos \theta +1) -j\sin \theta\}}{\{(\cos \theta +1) + j\sin \theta\}\{(\cos \theta + 1) - j\sin \theta \}}$$ $$=\frac{\cos^2 \theta -1 + \sin^2 \theta + j2\sin \theta}{(\cos \theta +1)^2 + \sin^2 \theta} = \frac{j 2 \sin \theta}{2 + 2 \cos \theta} =j \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = j \tan\frac{\theta}{2}$$ となる。従って、$w$は純虚数となる。$z=e^{j\theta}$の$\theta$を$-\pi \sim +\pi$変化させると、すなわち単位円周上を一周変化させると、$w$は虚軸上を$-j\infty \sim +j\infty$変化することになる。つまり、$z$平面の単位円周上が$w$平面の虚軸に写像される。また、$w$平面の左半平面が$z$平面の単位円内に写像されることになる。従って、$z$の特性方程式で、$z=\frac{1+w}{1-w}$と置き換えて$w$の多項式に変換すれば、ラウスの安定判別が使えることになる。

双一次変換による安定判別【例】

特性方程式が、$z^2 + az + b = 0$のとき、$z = \frac{1 +w }{1 - w}$とすると、

$$\left(\frac{1+w}{1-w}\right)^2 + a\left(\frac{1+w}{1-w}\right) + b = 0$$ $$(1 - a + b)w^2 + 2(1 - b)w + 1+ a+b =0$$ 各係数が正であれば、根の実部が負となることから、 $$1 - a + b \gt 0 , \;\;\; 1 - b \gt 0 , \;\;\; 1 + a+ b \gt 0$$
$$G(z)=\frac{z+1}{z^2-0.7z+0.3}$$ とすると、特性方程式は、$z^2 - 0.7z +0.3 =0$で、$a=-0.7, b=0.3$なので、$1-a+b=2 \gt 0$、$1-b=0.7 \gt 0$、$1+a+b=0.6 \gt 0$となり、安定と判別できる。　特性方程式$z^2 - 0.7z +0.3 =0$の根を求めると$p=0.35 \pm 0.421j$ となり、根は$z$平面の単位円内にあるので、安定である。