9. 離散時間システムの構造

システムの構造で重要な、可到達性、可制御性、可観測性について説明する。

可到達性、可制御性

離散時間システム$x(k+1)=Ax(k)+bu(k)$ において、原点$x(0)=0$から、時刻$n$において任意の状態$x(n)$ に到達する入力列$\{u(k)\}$が存在するとき、可到達であるという。

離散時間システム$x(k+1)=Ax(k)+bu(k)$ において、任意の初期状態$x(0)$から有限時間で原点へ推移させる入力列$\{u(k)\}$が存在するとき、可制御であるという。

離散時間系の解

＊状態方程式の解：
離散時間系の状態方程式の解は、逐次計算により次のように求められる。
$$x(1) = Ax(0) + bu(0)$$ $$x(2) =Ax(1) + bu(1)=A\{Ax(0) + bu(0)\} + bu(1) = A^2 x(0) + Abu(0) + bu(1)$$ $$\vdots$$ $$x(n) = A^n x(0) + A^{n-1}bu(0) + \cdots + bu(n-1)$$ よって、一般解は　 $$x(k) = A^k x(0) + \sum_{i=0}^{k-1} A^{k-i-1} b u(i) \;\;\;\; \cdots (1)$$ と表せる。

＊Z変換による解：
離散時間系の状態方程式をZ変換すると、 $$z X(z) - z x(0) = A X(z) + bU(z)$$ よって、 $$X(z) = (zI - A)^{-1} z x(0) + (zI - A)^{-1} bU(z)$$ となる。これを逆Z変換すると$x(k)$が求まるので、$(1)$式と比較して、 $$\mathcal{Z}^{-1} \{(zI -A)^{-1} z \} = A^{k}$$ $$\mathcal{Z}^{-1} \{ (zI - A)^{-1} bU(z)\} = \sum_{i=0}^{k-1} A^{k-i-1} b u(i)$$ となることがわかる。

可到達条件

離散時間系の状態方程式の一般解は$(1)$式なので、$n$における状態変数$x(n)$は、 $$x(n) = A^n x(0) + A^{n-1}bu(0) + A^{n-2}bu(1) + \cdots + Abu(n-2) + bu(n-1)$$ $$=A^n x(0) + \begin{bmatrix} b & Ab & \cdots & A^{n-2}b & A^{n-1}b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u(n-1) \\ u(n-2) \\ \vdots \\ u(1) \\ u(0) \end{bmatrix}$$ となる。従って、行列 $$W= \begin{bmatrix} b & Ab & \cdots & A^{n-2}b & A^{n-1}b \end{bmatrix}$$ が正則（逆行列が存在する）であれば、入力 $$\begin{bmatrix} u(n-1) \\ u(n-2) \\ \vdots \\ u(1) \\ u(0) \end{bmatrix} = W^{-1} \left[x(n) - A^n x(0)\right]$$ が求まる。すなわち、任意の初期状態$x(0)$から任意の状態$x(n)$へ高々$n$ステップで推移させる入力列$\{u(k)\}$が存在することになる。このときシステムは可到達である。

この結果から、システムが可到達であるための条件は、 $$W = \begin{bmatrix} b & Ab & \cdots & A^{n-2}b & A^{n-1}b \end{bmatrix} \;\;\;\; (n \times n)$$ の逆行列が存在することである。つまり、 $${rank}\; W = n \;\;\; または、|W| \ne 0$$ が成立すればよい。この行列$W$を可到達行列という。

可制御条件

可制御とは、任意の初期状態$x(0)$から、少なくとも$n$ステップで原点$x(n)=0$へ推移する入力列$\{u(k)\}$が存在することであるから、式$(1)$から、 $$0 = A^n x(0) + A^{n-1}bu(0) + A^{n-2}bu(1) + \cdots + Abu(n-2) + bu(n-1)$$ となればよい。ここで、行列$A$が正則であると$A^{-1}$が存在するので、両辺に$A^{-n}$をかけると $$A^{-1}bu(0) + A^{-2}bu(1) + \cdots + A^{-n+1}bu(n-2 )+ A^{-n}bu(n-1) = -x(0)$$ となるので、 $$-x(0) =\begin{bmatrix} A^{-1}b & A^{-2}b & \cdots & A^{-n+1}b & A^{-n}b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u(0) \\ u(1) \\ \vdots \\ u(n-1) \end{bmatrix}$$ であり、これが成立するための入力列${u(k)}$は、 $$R=\begin{bmatrix} A^{-1}b & A^{-2}b & \cdots & A^{-n+1} b & A^{-n}b \end{bmatrix}$$ とおくと、 $$\begin{bmatrix} u(0) \\ u(1) \\ \vdots \\ u(n-2) \\ u(n-1) \end{bmatrix} = -R^{-1} x(0)$$ で求まる。つまり、$R$が正則であることが必要である。$R$に$A^n$をかけると $$A^n R= \begin{bmatrix} A^{n-1}b & A^{n-2}b & \cdots & Ab &b \end{bmatrix}$$ となり、可到達の条件$W$と同じものが得られ、結局、離散時間系の可制御条件は、$A$が正則であれば可到達条件と同一になる。
なお、離散化システムでは、$A=e^{FT}$であるから、行列$A$は常に正則であるので、可制御条件と可到達条件は同一になる。

※連続時間系の離散化

説明を簡単にするため、一入力一出力の連続時間系を考える。状態方程式は、 $$\dot{x}(t) = F x(t) + g u(t) \;\;\; \cdots (2)$$ で、$x(t)$は$n$次元の状態変数ベクトル、$u(t)$は入力でスカラー、$F$は$(n \times n)$のシステム行列、$g$は$n \times 1$の入力行列とする。出力方程式は、 $$y(t) = c x(t)$$ で、$c$は$1 \times n$の出力行列、$y(t)$は出力でスカラーとする。離散化を考えるので入力$u(t)$を零次ホールドされた信号とする。 $$u(t) = u(kT) \;\;\;\; (kT \le t \lt (k+1)T)$$ $(2)$式の解は（詳細な導出は「LTIシステムの応答（微分方程式の一般解）」を参照）、 $$x(t) = e^{Ft}x_0 + \int_{0}^{t} e^{F(t-\tau)} g u(\tau) d\tau$$ なので、$t=(k+1)T$とおくと、 $$x[(k+1)T] = e^{FT}x(kT) + \int_{kT}^{(k+1)T} e^{F [(k+1)T- \tau] } g u(\tau) d \tau$$ となる。さらに、入力$u(t)=u(kT)$なので、 $$x[(k+1)T] = e^{FT}x(kT) + \int_{kT}^{(k+1)T} e^{F [(k+1)T- \tau] } g d \tau\cdot u(kT)$$ となる。$x(kT) = x(k) , \;\;\; u(kT) = u(k)$と略記すると、 $$x(k+1) = A x(k) + b u(k) \;\;\;\;\;\ y(k) = c x(k)$$ となり、 $$A =e^{FT} \;\;\;\; b=\int_0^T e^{F\tau} g d\tau$$ となる。このことから、連続時間系のシステム行列$F$が正則か非正則かに関わらず、離散時間系のシステム行列$A=e^{FT}$は正則である。

可観測性

離散時間システムを $$x(k+1) = Ax(k) \;\;\;\; y(k) = cx(k)$$ （入力$u(k)$に依らないので、$u(k)=0$とする。）として、出力系列$y(0), y(1),y(2),\cdots$から、初期状態$x(0)$を一意に決定できるとき、システムは可観測という。また、$x(k) = A^{k}x(0)$なので、初期状態$x(0)$が決定できるということは、すべての$k$に対する$x(k)$が決定できることを意味する。
$x(k) = A^{k}x(0)$より、 $$y(k) = c A^{k} x(0) \;\;\;\; (k=0,1,2, \cdots)$$ これを$k= 0,1,2, \cdots , n-1$で考えると、 $$\begin{bmatrix} y(0) \\ y(1) \\ \vdots \\ y(n-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ cA \\ \vdots \\ cA^{n-1} \end{bmatrix} x(0)$$ 可観測行列 $$V = \begin{bmatrix} c \\ cA \\ \vdots \\ cA^{n-1} \end{bmatrix} \;\;\;\; (n \times n)$$ とすると、$V$が正則（逆行列が存在する）であれば、 $$x(0) = V^{-1}\begin{bmatrix} y(0) \\ y(1) \\ \vdots \\ y(n-1) \end{bmatrix}$$ とでき、$x(0)$が一意に決定できる。

可観測条件

離散時間システムが可観測であるための必要十分条件は、$V$の逆行列が存在すること、すなわち $${rank}\; V = n \;\;\; または、|V| \ne 0$$ が成立すればよい。