12. 交流の測定原理

交流とは

交流とは、時間の経過とともに周期的に大きさや向きが変化する電流や電圧を指す。

実効値

正弦波電圧のp-p値、平均値

p-p値（peak to peak Voltage）：\(V_{pp}\)は、波形の最大値と最小値の差を表している。正弦波の場合、\(V_{pp}\)は振幅の2倍になる。\(V_{pp} = 2V_m\)

平均値：\(V_{ave} = \frac{2}{\pi}V_m \) 　一周期で平均をとると正の半波と負の半波で打ち消すので０となる。その為、平均は絶対値\(|v(t)|\)で求める。従って、半周期の平均を計算すればよい。$$V_{ave} = \frac{2}{T} \int_0^{\frac{T}{2}} V_m \sin\omega t dt = -\frac{2V_m}{T \omega}\left[\cos \omega t\right]_0^{\frac{T}{2}} \\ = -\frac{2V_m}{T \omega} \left[\cos \omega \frac{T}{2} - \cos 0\right] \\ = \frac{2}{\pi} V_m $$

正弦波電圧の実効値

まず、正弦波電圧の2乗の一周期の積分値を求める。$$X=\int_0^{T}(V_m \sin \omega t)^2dt = {V_m}^2 \int_0^T (\sin \omega t)^2 dt \\= {V_m}^2 \int_0^T \frac{1 - \cos 2 \omega t}{2} dt = {V_m}^2 \left[\frac{1}{2}t - \frac{1}{4 \omega} \sin 2 \omega t \right]_0^T \\= \frac{{V_m}^2T}{2}$$ よって、実効値は　$$V_{rms} =\sqrt{\frac{X}{T}} = \frac{V_m}{\sqrt{2}}$$この実効値は、正弦波電圧の場合であることに注意。
※家庭用電源の100Vは実効値を示している。従って、振幅\(V_m\)は\(100 \times \sqrt{2} =141.4 V\)である。

交流の実効値測定 可動鉄片形計器

図「可動鉄片形計器の構造」において、二つの鉄片の個々において磁極の強さは電流に比例し、発生する力は電流の２乗に比例する。従って、指針の偏位\(\theta\)は$$\theta \propto F \propto (I_m \sin \omega t)^2 = {I_m}^2 \left(\frac{1 - \cos 2 \omega t}{2} \right)= \frac{{I_m}^2}{2} - \frac{{I_m}^2 \cos 2\omega t}{2} = I^2 - I^2 \cos 2 \omega t$$第１項が実効値に直接関係する量（指針の偏位\(\theta\)は、実効値の２乗に比例）
第２項は振動項だが商用周波数（西日本60Hz、東日本50Hz)程度以上では大きく減衰し、指針の指示値には現れない。

永久磁石可動コイル形計器を利用した交流の測定：整流形

投稿済みの直流の測定原理にあるように、永久磁石可動コイル形計器は直流測定ができる。そこで、交流を整流して直流に変換することで、永久磁石可動コイル形計器を交流の測定に使えるようにする。

整流器を通って直流に変換された電流で、永久磁石可動コイル形計器を作動させることになるが、このときの波形は平均値を指すことになる。$$V_a = \frac{1}{T} \int_0^T |\sqrt{2}V \sin \omega t |dt =\frac{2\sqrt{2} V}{T} \int_0^{\frac{T}{2}} \sin \omega t dt \\ = \frac{2 \sqrt{2} V}{T} \left[ \frac{ - \cos \omega t}{\omega}\right ]_0^{\frac{T}{2}} \\ = \frac{2 \sqrt{2} V}{\pi} \approx 0.9003V \; [V]$$ この平均値\(V_a\)は実効値と比例の関係になっているので計器の目盛で補正すればよい。

高周波電流の測定：熱電形

熱線に電流を流すと、その温度上昇は熱線で発生する熱量（＝電力\(P\)）に比例するが、電力\(P\)は（計測する）電流\(I\)の２乗に比例する。　一方、熱電対に起こる熱起電力（＝熱電流\(I\)＝電流計Ｍの振れ）は温度上昇に比例するため、結果として、Ｍの振れは計測対象\(I^2\)に比例する。つまり、熱電対形電流計は２乗目盛となる。