32. 交流回路の解析

2023年5月6日 2023年5月6日

tctyam

交流におけるオームの法則

直流回路におけると同様に、導体に流れる交流電流 $\dot{I}$ は電位差 $\dot{V}$ に比例する。比例定数を $1/\dot{Z}$ とすると、

$\dot{I} = \frac{\dot{V}}{\dot{Z}} \; [A] ,\;\;\;\;\;\; \dot{V} = \dot{Z} \dot{I} \; [V]$ が成り立つ。

$\dot{Z}$ は複素インピーダンスで、

$\dot{Z} = R + j X \; [\Omega]$ である。ここで、

$R$ ：抵抗、

$X$ ：リアクタンスである。
また、アドミタンスは、

$\dot{Y} = \frac{1}{\dot{Z}} = \frac{1}{R +jX} = \frac{R}{R^2 + X^2} - j \frac{X}{R^2 + X^2} =G - jB \;[S]$ と表せる。
なお、このようにオームの法則に従う回路を線形回路といい、従わない回路を非線形回路という。この「基礎電気回路」では、線形回路を扱っている。

キルヒホッフの法則

オームの法則から導かれたキルヒホッフの法則も、交流回路において、複素インピーダンスを用いると直流回路と同様に表せる。

KCL（キルヒホッフの電流則）

KCL：回路網内の任意の接続点に流入する電流と、その点から流出する電流の総和が等しい。つまり、流入電流を正（＋）、流出電流を負（ー）として、

$\sum \dot{I} = 0$
図「KCLの例」では、流入電流の符号を正（＋）、流出電流の符号を（負）とすると、

$\dot{I}_1 + \dot{I}_3 - \dot{I}_2 - \dot{I}_4 = 0$ となる。

KVL（キルヒホッフの電圧則）

KVL：回路網内の任意の閉回路について、閉ループに沿って周回するとき、そのループに沿って電位をたどった時、電圧の総和（起電力と電圧降下の総和）が零になる。つまり、

$\sum \dot{E} - \sum \dot{Z} \dot{I}= 0$ もしくは、

$\sum \dot{E} =\sum \dot{Z} \dot{I}$ と表せる。

図「KVLの例」で電位をたどる方向で電圧の総和を求めると、

$-\dot{Z}_1 \dot{I}_1 + \dot{Z}_5 \dot{I}_5 - \dot{E}_5 - \dot{Z}_4 \dot{I}_4 + \dot{Z}_3 \dot{I}_3 + \dot{E}_2 - \dot{Z}_2 \dot{I}_2 = 0$ となる。ここで、図中の電流の方向は任意に設定し、各素子で、電位の高い方に

$+$ 、電位の低い方に

$-$ を付けている。電位をたどる方向で、

$+ \rightarrow -$ のときは

$-$ 、つまり減算として、

$- \rightarrow +$ のときは

$+$ 、つまり加算とする。
先の式を整理すると、

$\dot{Z}_1 \dot{I}_1 + \dot{Z}_2 \dot{I}_2 - \dot{Z}_3 \dot{I}_3 + \dot{Z}_4 \dot{I}_4 - \dot{Z}_5 \dot{I}_5 - \dot{E}_2 + \dot{E}_5 = 0$ となる。また、閉ループにおいて、「起電力の総和＝電圧降下の総和」と考えると、

$\dot{E}_2 - \dot{E}_5 = \dot{Z}_1 \dot{I}_1 + \dot{Z}_2 \dot{I}_2 - \dot{Z}_3 \dot{I}_3 + \dot{Z}_4 \dot{I}_4 -\dot{Z}_5 \dot{I}_5$ と表せる。

インピーダンス直並列回路

インピーダンス直列回路の一般式

図「インピーダンス直列回路」のように $n$ 個のインピーダンス $\dot{Z}_1 = r_1 +j x_1 , \; \dot{Z}_2 = r_2 +j x_2 , \; \cdots, \; \dot{Z}_n = r_n +j x_n$ が直列に接続された回路の端子 $a-b$ 間に電圧 $\dot{E}$ を加えた時、回路に流れる電流 $\dot{I}$ と各インピーダンスの電圧降下 $\dot{E}_1,\; \dot{E}_2, \;\cdots,\; \dot{E}_n$ の関係は、

$\dot{E}_1 = \dot{Z}_1 \dot{I} ,\;\;\;\dot{E}_2 = \dot{Z}_2 \dot{I} ,\;\;\;\cdots, \; \dot{E}_n= \dot{Z}_n \dot{I}$ となる。これらの和が端子間の電圧

$\dot{E}$ となるから、

$\dot{E} = \dot{E}_1 + \dot{E}_2+ \cdots +\dot{E}_n = \sum_{i=1}^n \dot{Z}_i \dot{I} = I \sum_{i=1}^n \dot{Z}_i \;[V]$ である。従って、

$\dot{Z}_0 = \frac{\dot{E}}{\dot{I}} = \sum_{i=1}^n \dot{Z}_i \; [\Omega] \\ \dot{Z}_0 = r_0 + jx_0 = \sum_{i=1}^n r_i + j\sum_{i=1}^n x_i \; [\Omega]$ である。

インピーダンス並列回路の一般式

図「インピーダンス並列回路」のように $n$ 個のインピーダンス $\dot{Z}_1 = r_1 +j x_1 , \; \dot{Z}_2 = r_2 +j x_2 , \; \cdots, \; \dot{Z}_n = r_n +j x_n$ が並列に接続された回路の端子 $a-b$ 間に電圧 $\dot{E}$ を加えた時、各インピーダンスに流れる電流を $\dot{I}_1,\; \dot{I}_2, \;\cdots,\; \dot{I}_n$ とすると、

$\dot{I}_1 = \frac{\dot{E}}{\dot{Z}_1} ,\;\;\; \dot{I}_2= \frac{\dot{E}}{\dot{Z}_2} ,\cdots ,\;\dot{I}_n = \frac{\dot{E}}{\dot{Z}_n} \;[A]$ となる。これらの電流の和が端子

$a-b$ から流入する電流

$\dot{I}$ になるから、

$\dot{I} = \dot{I}_1 + \dot{I}_2 + \cdots + \dot{I}_n = \sum_{i=1}^n \frac{\dot{E}}{\dot{Z}_i} \\= \dot{E} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\dot{Z}} \;[A]$ である。従って、等価インピーダンスは、

$\dot{Z}_0 = \frac{\dot{E}}{\dot{I}} = \frac{1}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{\dot{Z}_i} }\; [\Omega]$ となる。

ここで、 $n$ 個のアドミタンスを

$\dot{Y}_1 = \frac{1}{\dot{Z}_1}, \;\;\; \dot{Y}_2 = \frac{1}{\dot{Z}_2},\;\cdots,\;\dot{Y}_n = \frac{1}{\dot{Z}_n}$ とすると、等価アドミタンスは、

$\dot{Y}_0 = \sum_{i=1}^n \dot{Y}_i \; [S]$ となる。

カテゴリー: 基礎電気回路