17. 差動増幅器、ボルテージフォロワ、加算器

オペアンプを利用した各種回路を説明する。オペアンプを使った回路の基本設計では、オペアンプを理想オペアンプと考える。また、基本的に負帰還をかけるので、入力端子$+$と$-$間は、バーチャルショート（仮想短絡）が成立しているものとする。

差動増幅器

図１はオペアンプを利用した差動増幅器の基本回路図である。入力信号は、$v_{i1}$と$v_{i2}$で、これらの差を増幅して出力信号$v_o$を得る。オペアンプの入力インピーダンスは$\infty$なので、$i_+ = i_- = 0$である。そのため、図１の$a$点の電圧$v_a$は、 $$v_{i2} = (R_1 + R_2) i_2 ,\;\;\;\; v_a = R_2 i_2\\ v_a = \frac{R_2}{R_1 + R_2} v_{i2}$$ となる。バーチャルショートより、$b$点の電圧$v_b$は、$v_b = v_b$である。従って、 $$v_{i1} - v_b = R_1 i_1 \\ v_o -v_b = -R_2 i_1$$ 整理すると、 $$v_o = \frac{R_2}{R_1}\left(v_{i2} - v_{i1}\right) = -\frac{R_2}{R_1}\left(v_{i1} - v_{i2}\right) \;\;\;\cdots (1)$$ であり、出力電圧$v_o$は、入力電圧$v_{i1}$と$v_{i2}$の差を増幅したものとなっている。
図２は、差動増幅器のLTspice回路図である。また、図３は、$v_{i1}$を振幅0.1 V、周波数1 kHzの正弦波とし、$v_{i2}$を同振幅、同周波数で逆相としたときのシミュレーション結果である。出力voは、式（1）から、 $$v_o = - \frac{R2}{R1}(v_{i1} - v_{i2}) = -10(v_{i1} - v{i2})$$ なので、振幅2.0 Vの正弦波となる。また、$-10$倍なので、$v_o$と$v_{i1}$は逆相となる。なお、$v_{i1}$と$v_{i2}$が同振幅、同周波数、同位相なら$v_o$は、ほぼ０となる。

ボルテージフォロワ

図４がボルテージフォロワの回路図である。ボルテージフォロワでは、 $$v_i = v_o$$ となり、電圧増幅度は１である。電流増幅度はオペアンプ自体の仕様による。ボルテージフォロワの特徴は、
・入力インピーダンスは非常に大きい：$Z_i = \infty$
・出力インピーダンスは非常に小さい：$Z_o=0$
・電圧増幅度１（$0\; dB$）
である。インピーダンス変換器として使用することが多い。
図５は非反転増幅回路の回路図である。この回路の電圧増幅度は、 $$A_{vf} =1 + \frac{R2}{R1} \;\;\;\cdots (2)$$ である。 ここで、$R_1$を取り外し、$R_2 = R_3 = 0$とすると、図４のボルテージフォロワになる。電圧増幅度は、式（2）で$R_1 = \infty$とすると、 $$A_{vf} = 1$$ となることがわかる。 図４で考えると、$Z_i = \infty$より、$a$点の電圧は$v_i$であり、バーチャルショート（$v^{'}=0$）より、$b$点の電圧は$v_i$である。その結果、$v_o = v_i$となる。

加算器

図６は、２入力の加算器である。昔は、アナログコンピュータの加算器として使われていた。
図６より、バーチャルショートが成立しているとすると、$a$点の電圧$v_a$と$b$点の電圧$v_b$は等しいので、$v_b = 0$である。また、オペアンプの入力インピーダンス$Z_i =\infty$なので、$i_f = i_1 + i_2$である。 $$i_1 = \frac{v_1}{R_1} ,\;\; i_2 = \frac{v_2}{R_1} \\ v_o = - i_f R_f = -(i_1 + i_2)R_f\\ v_o=-\left(\frac{v_1}{R_1} + \frac{v_2}{R_1} \right)R_f= - \frac{R_f}{R_1}(v_1 + v_2)$$ となる。$R_f = R_1$とすれば、$v_o = v_1 + v_2$と出力電圧は２つの入力電圧の和となる。

$a_n$を求めるために、 $$f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right)$$ この両辺に$\cos m \omega t$を掛けると、 $$f(t) \cos m \omega t = \left\{ a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right) \right\} \cos m \omega t$$ 両辺を積分する。 $$\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos m \omega t dt = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left\{ a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right) \right\} \cos m \omega t dt \\ = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_0 \cos m \omega t dt + \sum_{n=1}^{\infty} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right) \cos m \omega t dt \\ = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_0 \cos m \omega t dt + a_m \frac{T}{2} = a_m \frac{T}{2}$$ よって、$m$を$n$に置き変えると、 $$a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}} ^{\frac{T}{2}} f(t) \cos n \omega t dt$$ となる。
次に、$b_n$を求めるために、 $$f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right)$$ この両辺に$\sin m \omega t$を掛けると、 $$f(t) \sin m \omega t = \left\{ a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right) \right\} \sin m \omega t$$ 両辺を積分する。 $$\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \sin m \omega t dt = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left\{ a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right) \right\} \sin m \omega t dt \\ = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_0 \sin m \omega t dt + \sum_{n=1}^{\infty} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right) \sin m \omega t dt \\ = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_0 \sin m \omega t dt + b_m \frac{T}{2} = b_m \frac{T}{2}$$ よって、$m$を$n$に置き変えると、 $$b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}} ^{\frac{T}{2}} f(t) \sin n \omega t dt$$ となる。
さらに、$a_0$を求めるために、 $$f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right)$$ この両辺を積分する。 $$\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) dt = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left\{ a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right) \right\} dt \\ = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_0 dt + \sum_{n=1}^{\infty} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right) dt \\ = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_0 dt = a_0 T$$ よって、 $$a_0 = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) dt$$ となる。

フーリエ級数展開例

方形波

方形波（Square Wave）（図９）は、周期 $T$で周期的に変化する信号で、一定の振幅を持つ部分が$T/2$ の時間だけ正の振幅を持ち、残りの$T/2$の時間は負の振幅を持つ波形である。
方形波のフーリエ級数展開は、 $$f(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1,3,5,\dots}^{\infty} \frac{\sin n \omega_0 t}{n}$$ となる。

ここで、$f(t)$は方形波の関数、$f_0$は方形波の基本周波数で、$f_0 = \frac{1}{T} ,\;\;\; \omega_0 = 2 \pi f_0$ である。（$T$ は方形波の周期）
このフーリエ級数展開は、奇数の倍数のサイン関数の無限和で表されている。各項は$\frac{1}{n}$の係数を持ち、$n$が増えるにつれて高次の成分が加わる。

三角波

三角波（Triangle Wave）（図１０）は周期的な波形である。
三角波のフーリエ級数展開は、 $$f(t) = \frac{8}{\pi ^2} \sum_{n = 1,3,5,\dots}^{\infty} \frac{\sin (2n-1)\omega_0 t}{(2n-1)^2}$$ となる。

ここで、$f(t)$は三角波の関数​、$\omega_0$は三角波の基本角周波数で、$\omega_0 = \frac{2 \pi}{T}$である。（$T$は三角波の周期）
このフーリエ級数展開では、奇数の倍数のサイン関数の無限和で表されています。各項は$\frac{1}{(2n -1)^2}$ の係数を持ち、$n$ が増えるにつれて高次の成分が加わる。