2. 基本論理演算と回路

2024年1月7日 2024年1月31日

tctyam

NOT演算（否定演算）

NOT演算とは、論理変数の真理値を反転する演算（否定演算）である。NOT演算子は通常、単項演算子として使用され、論理変数を1つだけ取る。

$A$	$Y=\overline{A}$
１（真）	０（偽）
０（偽）	１（真）

表１　NOT演算の真理値表

$A=0 \rightarrow \bar{A}=1 \\A=1 \rightarrow \bar{A} =0$ と書ける。図１はBuffer とNOT回路の回路図記号である。実際の回路では、例えば、 $＋５\;V$ を「１」に、 $０\;V$ を「０」に対応させることで、 $\{1,0\}$ の２値を実現している。

※以下、真を「１」、偽を「０」とする。（当然、逆に値｛１，０｝を定義しても良い。）

真理値表

真理値表とは、論理関数の、入力の全てのパターンとそれに対する結果の値を、表にしたものである。真理値表は、論理演算の入力値と出力値の対応関係を表として表したもので、一般的な形式では表の左側の列に入力を、右側の列に出力をそれぞれ並べる。各行に入力の組み合わせと、その時の出力を記入する。

OR演算（論理和）

OR演算とは、2つの論理変数の真理値のうち、いずれか一方が真「１」である場合に、真の値「１」を返す演算である。OR演算子は通常、二項演算子として使用され、論理変数を2つ取る。

表２はOR演算の真理値表である。また、図２がOR回路の回路図記号である。

$A$	$B$	$Y = A + B$
０	０	$０$
０	１	$１$
１	０	$１$
１	１	$１$

表２　OR演算の真理値表

３変数以上のOR論理関数は、２変数のOR論理関数を組み合わせることで実現できる。つまり $A+B+C = (A+B)+C$ とできる。図３は３変数OR回路が２変数OR回路の組み合わせで実現できることを示している。

AND演算（論理積）

AND演算とは、２つの論理変数の真理値がどちらも真「１」である場合にのみ、真の値「１」を返す演算である。AND演算子は通常、二項演算子として使用され、論理変数を２つ取る。

表３はAND演算の真理値表である。また、図４がAND回路の回路図記号である。

$A$	$B$	$Y=A \cdot B$
０	０	$０$
０	１	$０$
１	０	$０$
１	１	$１$

表３　AND演算の真理値表

３変数以上のAND論理関数は、２変数のAND論理関数を組み合わせることで実現できる。つまり $A \cdot B \cdot C = (A \cdot B) \cdot C$ とできる。図５は３変数AND回路が２変数AND回路の組み合わせで実現できることを示している。

論理関数の完全性

論理関数の完全性とは、任意の論理関数は、NOT，AND，ORの3つの演算子だけで構成できることを言う。
論理関数を $f$ 、論理変数を $(x_1,x_2,x_3, \cdots, x_n)$ とする。 $x_1,x_2, \cdots x_n$ は $\{1\; , \;0\}$ の値をとる。論理関数値 $z$ は、 $z = f(x_1,x_2,x_3, \cdots , x_n)$ で表せ、論理関数値 $z$ は、 $\{1\; , \;0\}$ の値をとる。
$n$ 個の論理変数があるとき、組み合わせの数は $2^n$ となる。 $2^n$ 個の論理変数の組み合わせに対して、論理関数値の組み合わせは２通りの $\{1,\;0\}$ となる。従って、可能な論理関数の数は、 $2^{2^n}$ 個となる。
論理関数は、引数の全ての組み合わせに対して、関数値 $\{0\; , \;1\}$ を対応させた表によって表せる。例えば、引数を $A,\;B$ の2個とすると、その組み合わせは、４通りとなり、それに対して関数値は $2^4=16$ 通りとなる。表４が２変数の論理関数の真理値表である。

A	B	①	②	③	④	⑤	⑥	⑦	⑧	⑨	⑩	⑪	⑫	⑬	⑭	⑮	⑯
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

表４　２変数の論理関数（真理値表）

表４において関数値が②となるところが、AND関数であり、関数値が⑧となるところが、OR関数である。この表より、１６通りの関数が構成できることが分かる。これら１６通りの関数がNOT，AND，ORの3つの演算子で実現できることが示せれば、２変数論理関数の完全性がいえる。

NOR演算、NAND演算

NOR と NAND は、論理演算の 2 つの基本演算である。NOR 演算は、2 つの論理変数の真理値がどちらも偽「０」である場合にのみ、真の値「１」を返し、一方、NAND 演算は、2 つの論理変数の真理値がどちらも真「１」である場合にのみ、偽の値「０」を返す。また、NOR 演算は、OR 演算の否定として、NAND 演算は、AND演算の否定として、表現することができる。

NOR演算

NOR 演算は、2 つの論理変数の真理値がどちらも偽「０」である場合にのみ、真の値「１」を返す演算である。NOR 演算子は通常、三項演算子として使用され、論理変数を 2 つ取る。NOR 演算の真理値表を表５に示す。

$A$	$B$	$A + B$	$Y= \overline{A+B}$
0	0	0	$1$
0	1	1	$0$
1	0	1	$0$
1	1	1	$0$

表５　NOR演算の真理値表

図６は、NOR回路の図記号とNOR回路がOR回路とNOT回路から構成されることを示している。

NAND演算

NAND 演算は、2 つの論理変数の真理値がどちらも真「１」である場合にのみ、偽の値「０」を返す演算である。NAND 演算子は通常、三項演算子として使用され、論理変数を 2 つ取る。NAND 演算の真理値表を表６に示す。

$A$	$B$	$A \cdot B$	$Y= \overline{A \cdot B}$
0	0	0	$1$
0	1	0	$1$
1	0	0	$1$
1	1	1	$0$

表６　NAND演算の真理値表

図７は、NAND回路の図記号とNAND回路がAND回路とNOT回路から構成されることを示している。

NAND演算、NOR演算の完全性

NAND と NOR は、論理演算の基本演算であり、任意の論理関数は、NAND または NOR だけで構成することができ、この性質をNAND と NOR の完全性と言う。
NAND と NOR の完全性は、論理回路やプログラミング言語の設計において、重要な意味を持っている。論理回路は、論理ゲートと呼ばれる素子によって構成されおり、NAND や NOR などの論理演算を行うことができる。NAND と NOR の完全性により、任意の論理関数をNAND または NOR の論理ゲートだけで実装することができる。

図８はNOR回路、NAND回路からNOT回路を構成する方法を示している。表７がその真理値表である。