2. 基本論理演算と回路

2024年1月7日 2024年1月31日

tctyam

NOT演算（否定演算）

NOT演算とは、論理変数の真理値を反転する演算（否定演算）である。NOT演算子は通常、単項演算子として使用され、論理変数を1つだけ取る。

$$A$$	$$Y=\overline{A}$$
１（真）	０（偽）
０（偽）	１（真）

表１　NOT演算の真理値表

$$A=0 \rightarrow \bar{A}=1 \\A=1 \rightarrow \bar{A} =0$$と書ける。図１はBuffer とNOT回路の回路図記号である。実際の回路では、例えば、$＋５\;V$を「１」に、$０\;V$を「０」に対応させることで、$\{1,0\}$の２値を実現している。

※以下、真を「１」、偽を「０」とする。（当然、逆に値｛１，０｝を定義しても良い。）

真理値表

真理値表とは、論理関数の、入力の全てのパターンとそれに対する結果の値を、表にしたものである。真理値表は、論理演算の入力値と出力値の対応関係を表として表したもので、一般的な形式では表の左側の列に入力を、右側の列に出力をそれぞれ並べる。各行に入力の組み合わせと、その時の出力を記入する。

OR演算（論理和）

OR演算とは、2つの論理変数の真理値のうち、いずれか一方が真「１」である場合に、真の値「１」を返す演算である。OR演算子は通常、二項演算子として使用され、論理変数を2つ取る。

表２はOR演算の真理値表である。また、図２がOR回路の回路図記号である。

$$A$$	$$B$$	$$Y = A + B$$
０	０	$$０$$
０	１	$$１$$
１	０	$$１$$
１	１	$$１$$

表２　OR演算の真理値表

３変数以上のOR論理関数は、２変数のOR論理関数を組み合わせることで実現できる。つまり$$A+B+C = (A+B)+C$$とできる。図３は３変数OR回路が２変数OR回路の組み合わせで実現できることを示している。

AND演算（論理積）

AND演算とは、２つの論理変数の真理値がどちらも真「１」である場合にのみ、真の値「１」を返す演算である。AND演算子は通常、二項演算子として使用され、論理変数を２つ取る。

表３はAND演算の真理値表である。また、図４がAND回路の回路図記号である。

$$A$$	$$B$$	$$Y=A \cdot B$$
０	０	$$０$$
０	１	$$０$$
１	０	$$０$$
１	１	$$１$$

表３　AND演算の真理値表

３変数以上のAND論理関数は、２変数のAND論理関数を組み合わせることで実現できる。つまり$$A \cdot B \cdot C = (A \cdot B) \cdot C$$とできる。図５は３変数AND回路が２変数AND回路の組み合わせで実現できることを示している。

論理関数の完全性

論理関数の完全性とは、任意の論理関数は、NOT，AND，ORの3つの演算子だけで構成できることを言う。
論理関数を$f$、論理変数を$(x_1,x_2,x_3, \cdots, x_n)$ とする。$x_1,x_2, \cdots x_n$は$\{1\; , \;0\}$の値をとる。論理関数値$z$は、$$z = f(x_1,x_2,x_3, \cdots , x_n)$$で表せ、論理関数値$z$は、$\{1\; , \;0\}$の値をとる。
$n$個の論理変数があるとき、組み合わせの数は$2^n$となる。$2^n$個の論理変数の組み合わせに対して、論理関数値の組み合わせは２通りの$\{1,\;0\}$となる。従って、可能な論理関数の数は、$2^{2^n}$個となる。
論理関数は、引数の全ての組み合わせに対して、関数値$\{0\; , \;1\}$を対応させた表によって表せる。例えば、引数を$A,\;B$の2個とすると、その組み合わせは、４通りとなり、それに対して関数値は$2^4=16$通りとなる。表４が２変数の論理関数の真理値表である。

A	B	①	②	③	④	⑤	⑥	⑦	⑧	⑨	⑩	⑪	⑫	⑬	⑭	⑮	⑯
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

表４　２変数の論理関数（真理値表）

表４において関数値が②となるところが、AND関数であり、関数値が⑧となるところが、OR関数である。この表より、１６通りの関数が構成できることが分かる。これら１６通りの関数がNOT，AND，ORの3つの演算子で実現できることが示せれば、２変数論理関数の完全性がいえる。

NOR演算、NAND演算

NOR と NAND は、論理演算の 2 つの基本演算である。NOR 演算は、2 つの論理変数の真理値がどちらも偽「０」である場合にのみ、真の値「１」を返し、一方、NAND 演算は、2 つの論理変数の真理値がどちらも真「１」である場合にのみ、偽の値「０」を返す。また、NOR 演算は、OR 演算の否定として、NAND 演算は、AND演算の否定として、表現することができる。

NOR演算

NOR 演算は、2 つの論理変数の真理値がどちらも偽「０」である場合にのみ、真の値「１」を返す演算である。NOR 演算子は通常、三項演算子として使用され、論理変数を 2 つ取る。NOR 演算の真理値表を表５に示す。

$$A$$	$$B$$	$$A + B$$	$$Y= \overline{A+B} $$
0	0	0	$$1$$
0	1	1	$$0$$
1	0	1	$$0$$
1	1	1	$$0$$

表５　NOR演算の真理値表

図６は、NOR回路の図記号とNOR回路がOR回路とNOT回路から構成されることを示している。

NAND演算

NAND 演算は、2 つの論理変数の真理値がどちらも真「１」である場合にのみ、偽の値「０」を返す演算である。NAND 演算子は通常、三項演算子として使用され、論理変数を 2 つ取る。NAND 演算の真理値表を表６に示す。

$$A$$	$$B$$	$$A \cdot B$$	$$Y= \overline{A \cdot B} $$
0	0	0	$$1$$
0	1	0	$$1$$
1	0	0	$$1$$
1	1	1	$$0$$

表６　NAND演算の真理値表

図７は、NAND回路の図記号とNAND回路がAND回路とNOT回路から構成されることを示している。

NAND演算、NOR演算の完全性

NAND と NOR は、論理演算の基本演算であり、任意の論理関数は、NAND または NOR だけで構成することができ、この性質をNAND と NOR の完全性と言う。
NAND と NOR の完全性は、論理回路やプログラミング言語の設計において、重要な意味を持っている。論理回路は、論理ゲートと呼ばれる素子によって構成されおり、NAND や NOR などの論理演算を行うことができる。NAND と NOR の完全性により、任意の論理関数をNAND または NOR の論理ゲートだけで実装することができる。

図８はNOR回路、NAND回路からNOT回路を構成する方法を示している。表７がその真理値表である。