4. LTIシステム

LTI（Linear Time-Invariant）システムとは、線形時不変システムの略称で、線形性と時不変性を満たすシステムを指し、以下の特徴を持つ。
・線形性（Linearity）：入力信号の線形結合が、出力信号においても同様に線形であるという性質を指す。
・時不変性（Time-Invariance）：システムの特性が時間に依存しないという意味である。システムの応答は、時間が経過しても変わらない。例えば、同じ入力信号を異なる時間に与えても、対応する出力信号は同じであるという性質である。
・因果性（Causality）：出力が対応する入力が発生した後のみ影響を受け、未来の入力は現在の出力に影響を与えないという性質である。
・線形時不変微分方程式の表現：LTIシステムは通常、線形時不変微分方程式でモデル化される。この方程式は、入力信号とその導関数（時間に関する微分）を用いて、出力信号を表現する。
LTIシステムはこれらの特性によって定義され、これらの特性によってシステムの解析や設計が分かりやすくなる。LTIシステム理論は、信号処理、通信、制御工学などの多くの応用分野で活用されている。

線形システム

システムが線形のとき、図１に示すように線形演算子$L$を用いて式(1)のように表す。 $$L\left\{x(t)\right\} = y(t) \; \cdots (1)$$

線形システムは、重ね合わせの理（重畳の理）によって定義される。入力$x_1(t) , \; x_2(t)$の出力を$y_1(t), \; y_2(t)$とすると任意の定数$a, \; b$に対して、 $$L\left\{a x_1(t) + b x_2(t)\right\} = L \left\{a x_1(t)\right\} + L \left\{b x_2(t)\right\} = a y_1(t) + b y_2(t)$$ が成り立つとき、このシステムを線形システムという。
入力$x(t)$に対する出力$y(t)$のシステムに入力$x(t - t_0)$を加えたとき、 $$L\left\{x(t - t_0)\right\} = y(t - t_0)$$ の関係が成立するシステムを時不変という。線形性と時不変性をあわせもったシステムを線形時不変（LTI）システムという。
線形システムに単位インパルス$\delta(t)$を入力として加えたときの応答（単位インパルス応答）を$h(t)$とすると、線形システムが時不変とすると、 $$L \left\{ \delta (t - t_0) \right\} = h(t - t_0)$$ が成り立つ。
有限な入力$x(t)$に対して、出力$y(t)$が有限であるとき、そのシステムは安定であるという。LTIシステムの安定条件として、時間領域において、インパルス応答$h(t)$ が時間とともに 0 に収束 するならば、そのシステムは 安定 であり、$h(t)$ が発散や振動し続けるならば、そのシステムは 不安定 である。システムが安定であれば、インパルス応答$h(t)$に対する条件として、 $$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|dt < \infty$$ が成り立つ。
システムに入力が印可される前には出力が現れないこと、すなわち、$t<0$で、入力$x(t)=0$であれば、その出力も$y(t)=0$となるとき、そのシステムは因果性を有しているという。また、因果システムのインパルス応答は、 $$h(t)=0, \;\;\; t<0$$ を満たす。

畳み込み積分

図２に連続時間信号$x(t)$を階段状波形$\hat{x}(t)$で近似するイメージを示す。 $$\delta_{\Delta}(t) = \begin{cases} \frac{1}{\Delta} , \enspace 0 \leq t < \Delta \\0, \enspace その他　\end{cases}$$ を定義すると、$\Delta \cdot \delta_{\Delta}(t)$は単位１の面積なので、図２における(1)は、$x(0) \cdot \delta_{\Delta}(t) \cdot \Delta$と表せるが、$\Delta \cdot \delta_{\Delta}(t)=1$なので、$x(0)$となる。同様に(2)は、$x(\Delta) \cdot \delta_{\Delta}(t - \Delta) \cdot \Delta = x(\Delta)$であり、(m)は、$x(m\Delta) \cdot \delta_{\Delta}(t - m\Delta) \cdot \Delta = x(m\Delta)$となる。従って、 $$\hat{x}(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k \Delta)\cdot \delta_{\Delta}(t - k \Delta) \cdot \Delta \;\cdots \cdots (2)$$ と表せる。$\Delta \rightarrow 0$で式(2)の左辺は、$x(t)$となる。また、右辺の$\delta_{\Delta}(t)$は、$\delta_{\Delta}(t) \rightarrow \delta(t)$となり、総和は積分に換えられるので、 $$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\delta(t - \tau) d\tau$$ となる。（厳密性を無視して表現すると、$x(t)$は、$\hat{x}(t)$で$\Delta \rightarrow 0$としたインパルス列の集合で表せるということ。）
LTIシステムへ信号$x(t)$を印可したときの出力$y(t)$を考える。まず、$\hat{x}(t)$の微小パルス入力に対する応答出力を求め、それらの総和から$\hat{y}(t)$を求める。システムの時不変性から入力$\delta_{\Delta}( t - k \Delta)$に対する応答として、$h_{\Delta}( t - k \Delta)$を定義すると、線形性から重ね合わせの理により、出力$y(t)$は、 $$y(t) = \lim_{\Delta \rightarrow 0} \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k \Delta) \cdot h_{\Delta}( t - k \Delta) \cdot \Delta$$ と表せる。$\Delta \rightarrow 0$の極限で$\delta_{\Delta}(t - k \Delta)　\rightarrow \delta(t- \tau)$となり、$h_{\Delta}( t - k\Delta)$は、$h_{\Delta}( t - k\Delta) \rightarrow h(t - \tau)$のように単位インパルス応答となる。従って、右辺の総和は積分に置き換わり、 $$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau \; \cdots (3)$$ が得られる。これを畳み込み積分という。
インパルス応答$h(t)$のLTIシステムに入力$x(t)$を印可したときの出力$y(t)$は、式(3)の畳み込み積分で与えられるが、これを $$y(t) = x(t) \ast h(t)$$ と表記する。