14-3. チェビシェフフィルタ

チェビシェフ多項式

チェビシェフ多項式は、三角関数の性質と多項式の関連性の研究から発見されたもので、数学、物理学、工学、統計学などのさまざまな分野で応用されている。
第一種チェビシェフ多項式は、式(1)で定義される。$$T_n(x) = \cos(nt), \;\;\;\; x=\cos t \;\; \cdots (1)$$ $$\cos 0t = 1, \;\;\;\;\cos 1t = \cos t, \\ \cos 2t = 2 \cos^2 t -1, \\ \cos 3t = 4 \cos^3 t - 3 \cos t, \\ \cdots \cdots$$ よって、$$T_0(x) =1,\;\;\;\; T_1(x) = x , \\ T_2(x) = 2 x^2 -1, \\T_3(x) = 4 x^3 -3 x, \\T_4(x) = 8 x^4 - 8 x^2 +1, \\ \cdots \cdots$$となる。従って、これは三項間漸化式で表せ、$$T_{n+1}(x) = 2x T_n(x) - T_{n-1}(x) ,\\ (n = 1,2,3,\cdots)$$ となる。図１に\(n=0,1,2,3,4\)までの第１種チェビシェフ多項式のグラフを示す。

第一種チェビシェフフィルタ

第一種チェビシェフ多項式から導かれる\(n\)次チェビシェフLPFの利得特性は、式(3)となる。$$|G_n(\omega)| = \frac{1}{\sqrt{ 1 + \epsilon ^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)}}\;\;\cdots (3)$$ ここで、\(\epsilon\)はリップル係数、\(\omega_0\)は遮断周波数、\(T_n( )\)が\(n\)次のチェビシェフ多項式である。
通過帯域は等リップル性を示し、そのリップルはリップル係数\(\epsilon\)で決定される。通過帯域ではチェビシェフ多項式は \(-1\) から \(1\) の範囲で変化し、チェビシェフ多項式の2乗は 0 から 1 の範囲で変化するので、フィルタの利得は最大 \(|G_n(\omega)|=1\) から最小\(|G(\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \epsilon^2}}\)間で変化する。遮断周波数\(\omega_0\)での利得は、第一種チェビシェフ多項式から、\(\frac{1}{\sqrt{1 + \epsilon^2}}\)となる。\(\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) > 1\)のとき、つまり\(T_n(x)\)で\( x>1\)のとき、\(T_n( )\)は急激に大きくなるので、式(3)より、チェビシェフフィルタの利得は急峻に低下し、阻止帯域となる。

入力インピーダンス\(50\; \Omega\)、遮断周波数\(f_c = 100 \;kHz\)、\(0.5 \;dB\)リップルのチェビシェフLPFを表１の係数表を使い設計する。
\(\omega_c = 2 \pi f_c = 6.2832\times 10^5\; rad/s \)

・3次チェビシェフLPFの設計値
$$R_s = 1.000\times 50 \\ C_1 = \frac{1.864}{\omega_c \times 50} = 59.33\; nF \\L_2 = \frac{1.280 \times 50}{\omega_c} = 0.1019\; mH \\C_3 = C_1$$図３に回路図を示す。また、 図４に周波数特性を示す。

・５次チェビシェフLPFの設計値
$$R_s = 1.000\times 50 \\ C_1 = \frac{1.807}{\omega_c \times 50} = 57.52 \; nF \\L_2 = \frac{1.302 \times 50}{\omega_c} = 0.1036\; mH \\C_3 = \frac{2.691}{\omega_c \times 50} = 85.66\;nF \\L4 = L2 ,\;\;\; C5 = C1$$

図５に回路図を示す。また、 図６に周波数特性を示す。図７は、\(100 \; kHz\)近傍の特性を拡大した特性図である。通過帯域において、\(0.5 dB\)のリップル（周波数に対する振幅の変動）があることが良く分かる。