20. 抵抗・インピーダンスの測定(2)

交流ブリッジ

交流ブリッジは、直流ブリッジと同様に、零位法でインピーダンスを測定する際に使われる。図１において、平衡状態の場合（検流計\(D\)に電流が流れない。B-D間の電位が等しい。）、平衡条件が成立し、$$\dot{Z}_1 \dot{Z}_x = \dot{Z}_2 \dot{Z}_3$$となる。

交流ブリッジの標準素子

交流ブリッジは、未知インピーダンスの測定に用いられる回路で、ブリッジの平衡条件を利用して、未知インピーダンスを既知の標準素子の値と比較し測定する。交流ブリッジで使用する標準素子は、以下の基本条件が必要である。
精度が高い、安定性が高い、温度変化の影響を受け難い、周波数変化の影響を受け難い。

よって、実部=0、虚部=0、つまり、$$R_x R_2 = R_1 R_3 , \;\;\;\;\;\;\;\; L_x R_2 = L_1 R_3$$が成立することが必要である。以上より、$$R_x = \frac{R_3}{R_2} R_1 , \;\;\;\;\;\;\;\; L_x = \frac{R_3}{R_2} L_1$$となり、測定対象の自己インダクタンス\(L_x\)が計測できる。

よって、$$R_x R_2 = R_1 R_3 , \;\;\;\;\;\; L_x R_2 = C R_1 R_2 R_3$$が成立することが必要である。以上より、$$R_x = \frac{R_1}{R_2} R_3 , \;\;\;\;\;\;\; L_x = C R_1 R_3$$となり、測定対象の自己インダクタンス\(L_x\)が計測できる。

$$\left(R_x R_2 + \frac{L_x}{C} - R_1 R_3 \right) + j \omega \left( L_x R_2 - \frac{R_x}{\omega^2 C}\right) = 0$$よって、$$R_x R_2 C + L_x - R_1 R_3 C = 0 \\ \omega^2 C L_x R_2 - R_x = 0$$この2式より、$$R_x = \frac{\omega^2 C^2 R_1 R_2 R_3}{1 + \omega^2 C^2 R_2^2} , \;\;\;\;\;\;\;\; L_x = \frac{C R_1 R_3}{1 + \omega^2 C^2 R_2^2}$$ となり、測定対象の自己インダクタンス\(L_x\)が計測できる。

また、\(R_1 \rightarrow R_x \rightarrow L\)の電圧降下と\(R_2 \rightarrow R_3 \rightarrow L_3\)の電圧降下は等しいので、$$(R_1 + R_x + j \omega L) \dot{I}_1 + j \omega M_x \dot{I} = (R_2 + R_3 + j \omega L_3) \dot{I}_2 \\ \left\{R_1 + R_x +j \omega (L + M_x) \right\} \dot{I}_1 = \left\{R_2 + R_3 + j \omega (L_3 - M_x) \right\} \dot{I}_2 \\ \left\{ R_x +j \omega (L + M_x) \right\} \dot{I}_1 = \left\{R_3 + j \omega (L_3 - M_x) \right\} \dot{I}_2 \\ \left\{ R_x +j \omega (L + M_x) \right\} \dot{I}_1 = \left\{R_3 + j \omega (L_3 - M_x) \right\} \frac{R_1}{R_2} \dot{I}_1 $$となる。この式を整理すると、$$(R_x R_2 - R_3 R_1) + j \omega \left\{R_2(L + M_x) - R_1(L_3 -M_x)\right\} = 0$$なので、実部=0、虚部=0、より、$$R_x R_2 - R_3 R_1 = 0 ,\;\;\;\;\;\; R_2 L + R_2 M_x - R_1 L_3 + R_1 M_x = 0$$よって、$$R_x = \frac{R_3 R_1}{R_2} ,\;\;\;\;\;\; M_x = \frac{R_1 L_3 - R_2 L}{R_1 + R_2}$$ さらに、\(R_1 = R_2\) となるように調整すると、$$R_x = R_3 , \;\;\;\;\;\;\; M_x = \frac{L_3 - L}{2}$$となる。

$$R_x R_2 ( 1 + j \omega C_1 R_1) = R_1 R_3 ( 1 + j \omega C_x R_x) \\ (R_x R_2 - R_1 R_3) + j \omega ( R_x R_2 C_1 R_1 - R_1 R_3 C_x R_x) = 0$$ 従って、実部=0、虚部=0、より、$$R_x R_2 - R_1 R_3 = 0,\;\;\;\;\;\; R_x R_2 C_1 R_1 - R_1 R_3 C_x R_x = 0$$ よって、$$R_x = \frac{R_3}{R_2}R_1 , \;\;\;\;\;\;\; C_x = \frac{R_2}{R_3} C_1$$となり、測定対象の抵抗\(R_x\)、キャパシタンス\(C_x\)が計測できる。

$$ j \omega C_x R_1 (1 + j \omega C_2 R_2) = j \omega C_3 R_2 (1 + j \omega C_x R_x) \\ \omega^2 ( C_x R_x C_3 R_2- C_x R_1 C_2 R_2) + j \omega (C_x R_1 - C_3 R_2) = 0$$従って、実部=0、虚部=0、より、$$C_x R_x C_3 R_2= C_x R_1 C_2 R_2 , \;\;\;\;\;\;\;\; C_x R_1 = C_3 R_2$$ よって、$$R_x = \frac{C_2}{C_3} R_1 ,\;\;\;\;\;\;\; C_x = \frac{R_2}{R_1} C_3$$となり、測定対象の抵抗\(R_x\)、キャパシタンス\(C_x\)が計測できる。

$$R_3 (1 - \omega^2 C_1 R_1 C_x R_x ) + j \omega( C_1 R_1 R_3 + C_x R_x R_3 - R_x R_2 C_1 ) = 0$$従って、実部=0、虚部=0、より、$$ \omega^2 = \frac{1}{C_1 R_1 C_x R_x} , \;\;\;\;\;\;\; \frac{R_1}{R_x} + \frac{C_x}{C_1} = \frac{R_2}{R_3}$$となる。平衡条件に\(\omega\)が含まれていることから、特定の周波数での特性を測定する際に使われる。

\(Q\)メータ

\(Q\)メータは、コイルの\(Q\)値を測定するための測定器である。\(Q\)値はコイルの品質を表す指標で、コイルの損失の小ささを表す。\(Q\)値が高いほど、コイルの損失が少なく、効率的に電磁エネルギーを蓄積・放出することができる。

共振状態では、電流計Aの指示値\(I_1\)は、\(R \ll R_x\)であれば、\(I_1\)はほとんど\(R\)に流れるので、\(V_1 \approx I_1 R\)となり、\(I_2 \approx \frac{V_1}{R_x}\)となる。従って、共振状態における電圧計Vの読みを\(V_C\)とすると、$$V_C = \frac{I_2}{\omega C} = \frac{V_1}{R_x} \cdot \frac{1}{\omega C}$$であり、$$Q = \frac{1}{\omega C R_x} = \frac{V_C}{V_1}$$となる。よって、\(V_1\)を一定値にすることで、\(V_C\)から\(Q\)値が直読できる。
また、共振状態のとき、\(\omega_0^2 C L_x = 1\)なので、$$L_x = \frac{1}{\omega_0^2} , \;\;\;\;\;\;\;\;\; \omega_0 = 2 \pi f_0$$となる。従って、共振状態での\(Q\)メータの発振周波数\(f_0\)と同調コンデンサ\(C\)の値から\(L_x\)が算出できる。