22. 可制御性（演習）

座標変換による固有値の変化

座標変換後のシステム行列\(\tilde{A}\)の特性方程式は、$$|s I - \tilde{A}| = 0$$である。この式に変換行列の関係式を代入して、整理すると、$$| sI - \tilde{A}| = | s I - T^{-1} A T | \\ = |T^{-1} (s I - A) T | \\= |T^{-1}| | s I - A| | T | \\ = |T^{-1}| | T | |s I - A| \\= |s I - A|$$となる。このように、特性方程式は座標変換によって不変なので、システムの固有値（特性根、極）も座標変換に対して不変である。

座標変換による固有ベクトルの変化

システム行列\(A\)の固有値\(\lambda_i\)とそれに対応する固有ベクトル\(v_i\)の関係は、$$A v_i = \lambda_i v_i , \;\;\; i=1,2,\cdots,n$$である。この式の両辺に左から\(T^{-1}\)を掛け、さらに、\(T T^{-1} = 1\)の関係を使うと、$$T^{-1} A T T^{-1} v_i = \lambda_i T^{-1} v_i$$となる。よって、$$\tilde{A} \tilde{v}_i = \lambda_i \tilde{v}_i , \;\;\; i=1,2,\cdots,n$$と表せる。つまり、座標変換後の固有ベクトル\(\tilde{v}_i\)は、$$\tilde{v}_i = T^{-1} v_i ,\;\;\; i=1,2,\cdots,n$$の関係となる。

システムの対角化

座標変換行列を式(2)のように構成すれば、システムを対角化できることを示す。
システム行列\(A\)に右から式(1)の座標変換行列\(T\)をかけると、$$AT = A \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \cdots & v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A v_1 & A v_2 & \cdots & A v_n \end{bmatrix}$$となる。ここで、右辺の\(n\)本の縦ベクトルに関して、$$A v_i = \lambda_i v_i ,\;\;\;\; i=1,2,\cdots,n$$が成立している。従って、$$\begin{bmatrix} A v_1 & A v_2 & \cdots & A v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_1 v_1 & \lambda_2 v_2 & \cdots & \lambda_n v_n \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \cdots & v_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ && \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} \\ = T \tilde{A}$$となる。よって、行列\(A\)は、その固有ベクトルを並べて構成した座標変換行列\(T\)で、$$T^{-1} A T = \tilde{A} =\begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ && \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} $$ に座標変換されることがわかる。\(T\)は\(A\)を対角化するので、対角変換行列と呼ぶ。

Scilabによる対角化計算の例

１）【行列の対角化】次の行列\(A\)に対して正則な座標変換行列を求めて対角化する。$$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1\end{bmatrix}$$
＊Scilabスクリプト(1)
A = [1 -1 ; 1 1];
disp(spec(A));//固有値計算と表示
[T,D] = spec(A);//固有ベクトル、固有値計算
disp(T);//固有ベクトル,座標変換行列の表示
disp(D);//対角行列の表示
A2 = T D inv(T);//Aに戻す操作
disp(A2);//A2=Aの確認表示

２）【重根をもつ行列の対角化】次の行列\(A\)に対して正則な座標変換行列を求めて対角化する。$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 4 & 1 \\ 2 & -4 & 0 \end{bmatrix}$$
＊Scilabスクリプト(2)
A = [1 2 1 ; -1 4 1 ; 2 -4 0];
disp(spec(A));//固有値計算と表示
[T,D] = spec(A);//固有ベクトル、固有値計算
disp(T);//固有ベクトル,座標変換行列の表示
disp(D);//対角行列の表示
A2 = T D inv(T);//Aに戻す操作
disp(A2);//A2=Aの確認表示

可制御性の条件

可制御性は以下のように表すことができる。
（1）式(1)のシステムを対角正準形で表現したとき、すべての\(\tilde{b}_i\)がゼロでないとき、システムは可制御である。
（2）式(1)のシステムで、すべての初期ベクトル\(x(0)\)をある有限な時刻\(t_f\)の間に、任意に与えられたベクトル\(x_f\)に移すような操作量\(u(t) \; (0 \ge t \ge t_f)\)が存在し、\(x(t_f) = x_f\)とできるとき、システムは可制御である。
（3）式(1)のシステムが可制御であるための必要十分条件は、\(n\)次の正方行列$$W_c(t) =\int_0^t (e^{-A \tau}b)(e^{-A\tau}b)^T d \tau$$が正則となる時刻\(t = t_f > 0\)が存在することである。\(W_c(t)\)：可制御性グラム行列。
（4）式(1)のシステムが可制御であるための必要十分条件は、\(n \times n\)正方行列$$U_c = \begin{bmatrix} b & Ab & A^2 b & \cdots & A^{n-1}b \end{bmatrix}$$が正則であること（行列式 \(\neq 0\) 、ランクが\(n\)）である。\(U_c\)：可制御行列。

可制御行列

可制御行列の正則性は、座標変換によって不変であることを示す。
座標変換\(x(t) = T z(t)\)によって、システムの行列が、\(\tilde{A} = T^{-1} A T , \tilde{b} = T^{-1}b\)に変換されたとすると、状態変数\(z(t)\)における可制御行列は、$$\tilde{U}_c = \begin{bmatrix} \tilde{b} & \tilde{A} \tilde{b} & \tilde{A}^2 \tilde{b} & \cdots & \tilde{A}^{n-1} \tilde{b} \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} T^{-1} b & T^{-1} A T T^{-1}b & T^{-1} A^2 T T^{-1}b & \cdots & T^{-1} A^{n-1} T T^{-1} b \end{bmatrix} \\ = T^{-1} \begin{bmatrix} b & A b & A^2 b & \cdots & A^{n-1} b \end{bmatrix} \\= T^{-1} U$$となり、\(|T^{-1} | \neq 0\)より、可制御行列の正則性は、座標変換に対して不変である。