24. 極配置法（演習）

2024年4月16日 2024年4月16日

tctyam

式(1)で表記する１入力$n$次元定係数線形システムを制御対象とする。$$\dot{x}(t) = A x(t) + b u(t) \\ y(t) = c x(t) \;\;\cdots \cdots (1)$$式(1)のシステムは可観測、可制御とする。さらに、状態変数$x_1(t) \sim x_n(t)$が直接観測できるとすると、入力を$$u(t) = -f x(t) \;\;\cdots \cdots(2)$$とすることで、状態フィードバック制御が構成できる。式(2)を式(1)に代入すると、閉ループ系は、$$ \dot{x}(t) = (A - b f)x(t)$$となり、その解は、$$x(t) = \exp[(A - b f)t] \cdot x(0)$$で与えられる。従って、行列$A - b f$の全ての固有値を複素平面の左半平面に配置できれば、閉ループ系は漸近安定となる。
固有値の複素平面上での位置と時間応答の関係から、行列$A - bf$の全ての固有値を指定し、指定した固有値になるようにフィードバック係数ベクトル$f$を求める。手順は、以下である。
1）可制御性の確認（不可制御の場合は、状態フィードバックは不適用）
2）行列$A - b f$を求める。
3）$A - b f$から閉ループ系の特性方程式を求める。
4）指定したい固有値から閉ループ系特性方程式を求める。
5）3),4)で求めた２つの特性方程式の係数を比較して、フィードバック係数ベクトル$f$を求める。

※状態フィードバックの構成図やフィードバック係数の設定などは、14. 状態フィードバック　を参照願います。

直接法による極配置

＊式(3)のシステムを制御対象として、閉ループ系の固有値を$-2,\; -3$とする状態フィードバック係数ベクトル$f$を求める。
$$\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -4 \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} u(t) \;\; \cdots \cdots (3)$$可制御行列の行列式は、$$|U_c|= \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 3 & -18 \end{vmatrix} = -60 \neq 0$$なので、可制御である。フィードバック係数ベクトル$f$を$$f = \begin{bmatrix} f_1 & f_2 \end{bmatrix}$$とする。これより閉ループ系システム行列は、$$A - b f = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \\3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_1 & f_2 \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix} 1 - 2 f_1 & 2 -2 f_2 \\ -3 -3 f_1 & -4 -3 f_2 \end{bmatrix}$$である。従って、閉ループ系の特性方程式は、$$|sI - (A - bf)| = \begin{vmatrix} s - 1 + 2 f_1 & -2 + 2 f_2 \\ 3 + 3 f_1 & s + 4 + 3 f_2 \end{vmatrix} \\= s^2 + (3 + 2 f_1 + 3 f_2) s + (2 + 14 f_1 - 9f_2) = 0 \;\; \cdots \cdots (4)$$指定したい固有値が$-2,\;-3$なので、特性方程式は、$$(s + 2)(s + 3) = s^2 + 5s +6 = 0$$この式と式(4)と恒等的に等しくなるためには、$s$の各次数の係数どうしが等しくなくてはならない。従って、$$3+2f_1 + 3 f_2 = 5 \\ 2 + 14 f_1 - 9 f_2 = 6$$この連立方程式を解くことで、$f$が求まる。$$f = \begin{bmatrix} f_1 & f_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$$