2. 行列式（線形代数）
tctyam行列式とは、正方行列に対して定義される量で、歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。幾何的には、線型変換に対して線形空間の拡大率ということができる。つまり、行列式は、行列がどれくらい空間を「引き伸ばしたり縮めたりしているか」を表す指標と言える。
行列式とは
\(nn\)の正方行列$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$$について、どの行、どの列からもきっちり１つずつ選んだ\(A\)の成分\(n\)個の積を\(A\)の基本積と呼ぶ。
［例］$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$$の基本積は、どの行、どの列からも１つずつ選んだ\(A\)の成分3個の積なので、$$a_{11} a_{22} a_{33} \;\;\;\;\; a_{12} a_{21} a_{33} \;\;\;\;\; a_{13} a_{21} a_{32} \\ a_{11} a_{23} a_{32} \;\;\;\;\; a_{12} a_{23} a_{31} \;\;\;\;\; a_{13} a_{22} a_{31}$$となる。
\(n/n\)の正方行列は、一般に\(n!\)個の基本積を持つ。基本積は、\(a_{1 j_1} a_{2 j_2} \cdots a_{n j_n}\) と表せる。ただし、\(j_1, j_2, \cdots , j_n\)は集合\(\{1,2, \cdots, n \}\)の順列を示し、順列すべてを動くとする。さらに、基本積に\(+\)または、\(-\)の符号を付けたものを\(A\)の符号付基本積という。符号は、\(j_1, j_2, \cdots , j_n\)が偶順列のときは\(+\)、奇順列のときは\(-\)を付けるものとする。
※順列\(j_1, j_2, \cdots , j_n\)において、ある自然数がそれよりも小さな自然数より先に出現するとき、追い越しが起きているといい、追い越しの発生している合計数を追い越し数とよぶ。また、追い越し数が偶数の順列を偶順列、奇数の順列を奇順列とよぶ。
［例］$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$$の符号付基本積は以下の表のようになる。
| 基本積 | 列番号の順列 | 偶奇 | 符号付基本積 |
| \(a_{11}a_{22}a_{33}\) | \((1,2,3)\) | 偶 | \(+a_{11}a_{22}a_{33}\) |
| \(a_{11}a_{23}a_{32}\) | \((1,3,2)\) | 奇 | \(-a_{11}a_{23}a_{32}\) |
| \(a_{12}a_{21}a_{33}\) | \((2,1,3)\) | 奇 | \(-a_{12}a_{21}a_{33}\) |
| \(a_{12}a_{23}a_{31}\) | \((2,3,1)\) | 偶 | \(+a_{12}a_{23}a_{31}\) |
| \(a_{13}a_{21}a_{32}\) | \((3,1,2)\) | 偶 | \(+a_{13}a_{21}a_{32}\) |
| \(a_{13}a_{22}a_{31}\) | \((3,2,1)\) | 奇 | \(-a_{13}a_{22}a_{31}\) |
行列式の定義
\(A\)を正方行列とするとき、\(A\)のすべての符号付基本積の和を\(A\)の行列式といい、\(det(A)\)、または、\(|A|\)と書く。\(det\)を行列式関数と呼ぶ。
$$det\left(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\right) \\ = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} -a_{11}a_{23}a_{32} -a_{12}a_{21}a_{33} -a_{13}a_{22}a_{31}$$となる。
定義から直接行列式を計算する場合、サイズ\(4/4\)行列の場合ですら\(4!=24\)個の基本積とその符号の決定が必要となり、面倒である。
行列式の基本定理
行列式に関する定理１
正方行列\(A\)が\(0\)のみからなる行をもっていれば、\(det(A) = 0\)
※\(A\)から作られるどの基本積も必ずそれぞれの行から１個ずつ成分が選ばれている。従って、\(A\)が\(0\)のみからなる行をもてば、どの基本積も\(0\)を因子に含むので、その積は\(0\)となり、行列式は符号を付けた基本積の和なので、\(0\)となる。
行列\(A\)の対角線より下の成分がすべて\(0\)であるような正方行列を上３角行列とよび、同様に対角線より上の成分がすべて\(0\)であるような正方行列を下３角行列とよぶ。
行列式に関する定理２
\(A\)が\(n\)次の３角行列であれば、その行列式\(det(A)\)は\(A\)の対角線上の成分（対角成分）の積に等しい。つまり、\(det(A) = a_{11} a_{12} \cdots a_{nn}\)である。
［例］$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{bmatrix} \\ det(A) = a_{11} a_{22} a_{33} a_{44}$$ となる。これは、\(0\)にならない基本積を考えれば明らかである。
行列式に関する定理３
\(A\)を\(n/n\)行列とするとき、
(a) \(A\)のある行を\(k\)倍して\(A'\)をつくったとすると、\(det(A') = k det(A)\)
(b) \(A\)の２つの行を交換して\(A'\)をつくったとすると、\(det(A') = - det(A)\)
(c) \(A\)のある行を何倍かして別の行に加えて\(A'\)をつくったとすると、\(det(A') = det(A)\)
［例］$$A =\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \;\;\;\;\; det(A) = -2$$において、
(a) \(A\)の第１行を４倍した行列は、\(A_1 = \begin{bmatrix} 4 & 8 & 12 \\ 0 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\)であり、
\(det(A_1) = - 8 = 4det(A)\)である。
(b) \(A\)の第１行と第２行を交換した行列は、\(A_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\)であり、
\(det(A_2) = 2 = -det(A)\)である。
(c) \(A\)の第３行を\(-2\)倍して第２行に加えた行列は、\(A_3= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\)であり、
\(det(A_3) = -2 = det(A)\)である。
行列式関数の性質
転置行列の定義
サイズ\(m/n\)の行列\(A\)が与えられたとき、\(A\)の\((i,j)\)成分を\((j,i)\)成分とみなして得られるサイズ\(n/m\)行列を転置行列と呼び、\(A^t\)と書く。
ある行列に対して、その転置行列を対応させる作用を転置作用と呼ぶ。
転置作用の性質
(1) \((A^t)^t) = A\)
(2) \((A +B)^t = A^t + B^t\)
(3) \((k A)^t = k A^t\) （\(k\)は実数）
(4) \((AB)^t = B^t A^t\)
行列式に関する定理４
任意の正方行列\(A\)について、\(det(A) = det(A^t)\)
※このことは、もとの行列の行と列の役割を交換しても、同様に成立することを示している。
行列式に関する定理５
\(A,\;B\)をサイズの等しい正方行列とするとき、\(det(AB) = det(A) det(B)\)
［例］$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \;\;\;\;\; B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} $$のとき、$$AB = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} + a_{12} b{21} & a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} \\ a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} \end{bmatrix}$$である。$$det(AB) = (a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21})(a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} ) - (a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22})(a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} ) \\ = (a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}) (b_{11} b_{22} - b_{12} b_{21} ) \\ = det(A) det(B)$$となる。
行列式に関する定理６
正方行列\(A\)が可逆であることと、\(det(A) \neq 0\) であることとは同値である。
※\(A\)が可逆なので、\(I = A A^{-1}\)である。両辺の行列式を求めると、\(det(I) = 1 = det(A)det(A^{-1})\)なので、\(det(A) \neq 0\)である。
さらに、\(det(A)det(A^{-1})= det(I)=1\)なので、\(det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)}\)である。
余因子展開
余因子の定義
正方行列\(A\)の第\(i\)行および第\(j\)列をとりのぞいてできる行列の行列式を\(M_{ij}\)と書き、\(A\)の\((i,j)\)成分\(a_{ij}\)の小行列式とよぶ。また、\(C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\)を\(a_{ij}\)の余因子とよぶ。
$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$$において、$$det(A) = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} \\ = a_{11} (a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32}) + a_{21} (a_{13} a_{32} - a_{12} a_{33}) + a_{31} (a_{12} a_{23} - a_{13} a_{22}) \\ = a_{11} C_{11} + a_{21} C_{21} + a_{31} C_{31}$$と書き表せる。これより、\(A\)の行列式の計算法として、\(A\)の第１列の成分と、その成分の余因子をかけ合わせたものを合計する方法が考えられ、この方法を\(A\)の第１列による余因子展開とよぶ。
行列式に関する定理７
サイズ\(n/n\)の行列\(A\)の行列式は、どれか１つの行（または列）の成分と、その成分についての余因子とをかけ合わせて、合計\(n\)個を加えたものに等しい。
任意の\(1 \le i \le n , \; 1 \le j \le n\)について、第\(j\)列による余因子展開は、$$det(A) = a_{1j} C_{1j} + a_{2j} C_{2j} + \cdots + a_{nj} C_{nj}$$となる。また、第\(i\)行による余因子展開は、$$det(A) = a_{i1} C_{i1} + a_{i2} C_{i2} + \cdots + a_{in} C_{in}$$となる。
