2-1. 留数定理によるZ変換
tctyam※以下、虚数単位に「j」を使用する。
留数定理
留数定理は、特異点の周りで関数を積分する際に、その点における関数の「留数」（Residue：何かが取り除かれた後に残っているもの、という意味）を利用するものである。
ある閉じた経路 C に沿って解析関数 f(z) を積分する場合、経路 C の内部に存在する全ての孤立特異点における留数の和を用いて、積分を簡単に計算できる。
留数定理は次のように表現される。\oint_C f(z) \, dz = 2\pi j \sum \text{Res}(f, a_i)ここで、
・\oint_C f(z) \, dz は、閉じた経路 C に沿った関数f(z)の複素積分。
・\text{Res}(f, a_i)は、f(z)の特異点a_iにおける留数。
・\sum \text{Res}(f, a_i)は、経路C内の全ての特異点の留数の合計。
留数の定義
関数f(z)が特異点z=a で次の形で展開できるとする（ローラン展開）f(z) = \frac{c_{-1}}{z-a} + c_0 + c_1(z-a) + \cdotsここで、c_{-1}が特異点z=aにおける留数である。
留数定理の証明
１．特異点が１つの場合
関数 f(z)を g(z) = (z-a)f(z)と書くと、f(z) = \frac{g(z)}{z-a}このとき、g(z) はz=aで解析的である。よって、\oint_C f(z) \, dz = \oint_C \frac{g(z)}{z-a} \, dzここで、Cauchyの積分公式より、\oint_C \frac{g(z)}{z-a} \, dz = 2\pi j \, g(a) = 2\pi j \, c_{-1}よって、\oint_C f(z) \, dz = 2\pi j \, \text{Res}(f, a)である。
２．複数の特異点がある場合
複数の特異点がある場合、それぞれの特異点に対して積分を行い、その結果を合計すればよい。\oint_C f(z) \, dz = 2\pi j \sum \text{Res}(f, a_i)
ローラン展開
ローラン展開は、複素解析における関数の級数展開の一種で、特に特異点を持つ関数の表現に使用される。
複素関数f(z)がある領域Aで解析的であるとする。Aは、点aの周りにドーナツ状の領域（孤立特異点aを含む）である。このとき、関数f(z)は次の形で展開される。f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z-a)^nここで、z=aが特異点である場合、n \lt 0の項が現れることがあり、これがテイラー展開との違いである。
c_nはローラン係数で、c_n = \frac{1}{2\pi j} \oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} dzここで、積分経路Cはz=aを中心とする閉曲線で、関数が解析的な領域に含まれている。
Cauchyの積分公式
f(z) がCの内部で解析的で、z=aに孤立特異点を持つとすると、次の式が成り立つ。f(a) = \frac{1}{2\pi j} \oint_C \frac{f(z)}{z-a} \, dz
留数定理によるZ変換の求め方
f(t)をラプラス変換した関数F(s)の逆ラプラス変換、f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[F(s) \right] = \frac{1}{2 \pi j}\int_C F(s) e^{st} dsにおいて、サンプル値f(kT)はt = kTとおいて、f(kT) = \frac{1}{2 \pi j}\int_C F(s)e^{kTs} ds \;\;\;\;\; (k=0,1,2,\cdots) \;\; \cdots(1)と表せる。Z変換の定義式F(z) = \mathcal{Z} \left[f(kT)\right] = \sum_{k=0}^{\infty} f(kT) z^{-k}の右辺に式(1)を代入すると、F(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2 \pi j} \int_C F(s) e^{kTs} z^{-k} ds \\ = \frac{1}{2 \pi j} \int_C F(s)\left[ \sum_{k=0}^{\infty} e^{kTs} z^{-k} \right] ds \;\; \cdots (2)となる。ここで、\sum_{k=0}^{\infty} e^{kTs} z^{-k} = \sum_{k=0}^{\infty} (e^{Ts}z^{-1})^k = \frac{1}{1 - e^{Ts} z^{-1}}なので、式(2)は、F(z) = \frac{1}{2 \pi j} \int_C \frac{F(s)}{1 - e^{Ts}z^{-1}} ds \;\; \cdots(3)と表せる。
F(s)のすべての極は、閉曲線C内にあり、かつ、C内で1-e^{Ts}z^{-1} = 0となることは無い。よって、式(3)の積分に留数定理を使って、「F(z)は、F(s)の極における\frac{F(s)}{1 - e^{Ts} z^{-1}}の留数の和」となる。
以上より、f(t)のラプラス変換F(s)から式(3)により、Z変換を求めることができる。
留数定理を使用したZ変換の例
（１）F(s) = \frac{1}{s +a}のZ変換を求める。
F(s)の極はs = -aであるから、F(z) = \left. (s+a)\frac{F(s)}{1-e^{Ts}z^{-1}} \right |_{s=-a} = \frac{1}{1 - e^{-aT} z^{-1}} = \frac{z}{z - e^{-aT}}
（２）F(s) = \frac{1}{s(s+1)(s+2)}のZ変換を求める。
F(s)の極はs= 0,\;-1,\;-2であるから、求める留数は、
s=0の留数は、\left. s \frac{F(s)}{1-e^{Ts}z^{-1}} \right |_{s=0} = \frac{1}{2(1-z^{-1})} s=-1の留数は、\left. (s+1) \frac{F(s)}{1-e^{Ts}z^{-1}} \right |_{s=-1} = \frac{-1}{1 - e^{-T}z^{-1}} s=-2の留数は、\left. (s+2) \frac{F(s)}{1 - e^{Ts}z^{-1}} \right |_{s=-2} = \frac{1}{2(1 - e^{-2T} z^{-1})}となる。従って、F(z) = \frac{1}{2(1-z^{-1})} + \frac{-1}{1 - e^{-T}z^{-1}} + \frac{1}{2(1 - e^{-2T} z^{-1})} = \frac{(1 - e^{-T})^2 (1 + e^{-T}z^{-1})z^{-1}}{2(1 - z^{-1})(1 - e^{-T}z^{-1})(1 - e^{-2T}z^{-1})}
