4. 微分（微積分学）

微分法

初等関数のような普通に考える関数\(y=f(x)\)は、ほとんどの点で微分可能である。つまり、$$\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \equiv \lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \;\;\; \cdots (1)$$が存在する。微分可能であれば連続であるが、その逆は必ずしも成立しない。また、式(1)を\(x\)の関数と考えるとき、\(y=f(x)\)の導関数と呼ぶ。
導関数の導関数を２階導関数という。\(f''(x) ,\;\; d^2y/dx^2\)などと記す。また、$$\frac{d^2y}{dx^2} \equiv \left(\frac{d}{dx}\right)^2 y $$である。

微分の商

\(\frac{dy}{dx}\)はライプニッツの記法で、式(1)のように極限をとっているので、本来、\(dy\)と\(dx\)の商ではないが、多くの場合、商であるかのように（微分商）計算を行うことが可能である。\(\Delta x , \; \Delta y\)は、小さいが\(0\)ではない数と考えるが、これに対して、微分記号\(dx,\;dy\)は無限小とする特別な記号であり、具体的な数は代入できない。この無限小の微分記号に関しては、以下の（１）、（２）のように考える。
（１）加算では高次の微小量は無視する。例：\(x + dx \rightarrow x ,\;\; dx + dx^2 \rightarrow dx\)
（２）同じ次数の微小量の比だけを有意とする。例：\(dx/dy ,\;\;(dy/dx)^2,\;\;d^2z/dxdy\)
なお、表記法としては、\(dx^2 = (dx)^2, \;\;\;d^2 x = d(dx)\)とする。

（１）、（２）の適用例として、\(y=f(x) = x^2\)の微分を考えると。$$dy = (x +dx)^2 - x^2 = x^2 + 2x dx + dx^2 -x^2 = 2x dx + dx^2 = 2 x dx , よって、\frac{dy}{dx} = 2x$$となる。

偏微分と全微分

偏微分とは、複数の独立変数がある関数の場合、他の変数を定数と仮定して、特定の１変数に関する導関数を求めることである。例えば、\(y = f(x,u\)において、\(x\)に関する偏微分は、\(u\)を固定したときの\(x\)に関する微分を考え、\(\partial y /\partial x\)と表記する。他の変数が無い場合にも偏微分の記号を使うと、$$dy = \frac{\partial y}{\partial x} dx \;\;\; \cdots (2)$$と微分を表せる。なお、微分は、\(dx,\;dy\)と書けるが、\(\partial x ,\; \partial y\)は書けない。偏微分は、複数の独立変数のセットを指定しないと意味がないからである。偏微分記号\(\partial\)は導関数としてしか使わない。
式(2)において、\(dx\)を\(X-x\)に、\(dy\)を\(Y-y\)に置き換えると、（\(X,Y\)）座標に関して点（\(x,y\)）における接線の方程式になる。これを多変数の場合に拡張すると、全微分の考え方になる。例えば、曲面\(z = f(x,y)\)が点（\(x,y\)）において接平面をもつなら、その全微分、$$dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy \;\;\; \cdots (3)$$が存在し、\(dx\)を\(X-x\)、\(dy\)を\(Y-y\)、\(dz\)を\(Z-z\)に置き換えれば、接平面の方程式になる。また、\(z = f(x,y)\)なので式(3)は、$$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy = \left(dx \frac{\partial }{\partial x} + dy \frac{\partial }{\partial y}\right) f$$と、より自然に書ける。\(f\)は全微分可能であれば良いので、両辺から外して、$$d = dx \frac{\partial }{\partial x} + dy \frac{\partial }{\partial y} = \begin{bmatrix} dx & dy \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial x} \\ \frac{\partial }{\partial y} \end{bmatrix}$$と書ける。これは、\(n\)次元に拡張できる。

微分の基本公式

・線形性
微分演算は線形演算である。一次結合の導関数は、導関数の一次結合に等しい。\(a,\;b\)を定数として、\(f(x),\;g(x)\)を\(x\)の関数として、$$\frac{d}{dx}\left( a f(x) + b g(x) \right) = a \frac{d f(x)}{dx} + b \frac{d g(x)}{dx} \;\;\; \cdots (4)$$である。
・関数の積の微分（ライプニッツ規則）
$$\frac{d}{dx} \left(f(x) g(x) \right) = \frac{df(x)}{dx} g(x) + f(x) \frac{d g(x)}{dx} \;\;\; \cdots (5)$$（微分そのまま、そのまま微分^^;）が成立する。
・合成関数（関数の関数）の微分
$$\frac{d}{dx} f\left(g(x) \right) = \frac{d g(x)}{dx} \frac{d f \left(g(x)\right)}{dg(x)} \;\;\; \cdots (6)$$
例えば、$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = - \frac{1}{x^2}$$なので、$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right) = -\frac{1}{\left[g(x)\right]^2} \frac{d g(x)}{dx}$$となる。これと、式(5)を組み合わせると商の微分の公式が得られる。
・商の微分の公式
$$\frac{d}{dx} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{ \frac{d f(x)}{dx} g(x) - f(x) \frac{d g(x)}{dx}}{\left[g(x) \right]^2}$$
・陰関数\(f(x,y) = 0\)の微分
全微分の式(3)で\(z=0\)とおくと、$$0 = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$$より、$$\frac{dy}{dx} = - \frac{ \partial f / \partial x}{\partial f / \partial y}$$となる。

高階導関数

微分の基本公式を使うと、基本関数の導関数が分かっていれば、それを組み合わせて構成される関数の導関数は、すべて計算できる。\(y=f(x)\)の導関数の導関数も計算できる。\(n\)階の導関数は、\(y^{(n)} ,\; f^{(n)}(x), \; d^{n}y/dx^n\)などと表記する。
式(5)を繰り返し適用すると$$\frac{d^2}{dx^2}\left( f(x) g(x) \right) = \frac{d^2 f(x)}{dx^2}g(x) + 2\frac{df(x)}{dx}\frac{d g(x)}{dx} + f(x) \frac{d^2 g(x)}{dx^2} $$となるので、一般形は、$$\frac{d^n}{dx^n} \left(f(x) g(x) \right) = \sum_{k=0}^n {}nCk \frac{d^{n-k} f(x)}{dx^{n-k} }\frac{d^k g(x)}{dx^k}$$である。ここで、\( {}nCk \equiv n!/(k!(n-k)!)\)は組み合わせの数（２項係数）である。