13. 線形微分方程式（微分方程式）

2024年12月4日 2024年12月4日

tctyam

線形微分方程式とは、未知関数（通常 $x(t)$ などで表される）とそのすべての導関数（1階、2階、またはそれ以上の階数）が線形結合された形を持つ微分方程式を指す。線形性の条件として、未知関数$x$ およびその微分がすべて一次で現れること、つまりべきが 1 であることが必要である。
線形微分方程式の一般的な形は、１階線形微分方程式では、$$\frac{dx}{dt} + p(t)x = q(t)$$と表せる。ここで、$x(t)$は未知関数、$p(t),\;\;q(t)$は$t$の関数（または定数）である。

同次線形微分方程式

同次線形微分方程式は、$$x^{(n)} + p_1(t) x^{(n-1)} + \cdots +p_{n-1}(t)x' + p_n(t) x = 0 \;\;\;\;\; \cdots (1)$$と書ける。（最高階$x^{(n)}$の係数を１に規格化している。）
さらに、ベクトル記号を使って、$n$次元の縦ベクトルを$x \equiv (x,\;x',\; \cdots,\;x^{(n-1)})^T$ （$T$は転置）、$n$次元の横ベクトルを$p \equiv (p_n ,\; p_{n-1},\;\cdots,\; p_1)$とすると、ベクトルの内積を用いて式(1)は、$$x^{(n)} + (p \cdot x) = 0$$と表記できる。式(1)に対しては重ね合わせの理が成り立つので、解の任意の一次結合もまた解である。従って、一次独立な$n$個の解$x_1,\;x_2,\;\cdots,\;x_n$が見つかれば、一般解は、$$x = C_1 x_1 + C_2 x_2 + \cdots + C_n x_n \;\;\;\; \cdots (2)$$で与えられる。なお、一次独立な$n$個の解のセットを基本解系という。

解の独立性

式(1)より、$n$階導関数はすべて$n-1$階までの導関数で表されるので、関数としての一次独立性は、$n$次元ベクトル$x_1,\;x_2,\;\cdots,\;x_n$のベクトルとしての一次独立性に帰着する。
$n$ 個の関数 $x_1(t), x_2(t), \ldots, x_n(t)$が与えられたとき、それらのロンスキアン（ロンスキーの行列式） $W(x_1, x_2, \ldots, x_n)(t)$は次の行列式で定義される。$$W(x_1, x_2, \ldots, x_n)(t) = \begin{vmatrix} x_1(t) & x_2(t) & \cdots & x_n(t) \\ x_1'(t) & x_2'(t) & \cdots & x_n'(t) \\ x_1''(t) & x_2''(t) & \cdots & x_n''(t) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{(n-1)}(t) & x_2^{(n-1)}(t) & \cdots & x_n^{(n-1)}(t) \end{vmatrix}$$ここで、$x1,x2,\ldots,x_n$は与えられた関数。$x_k^{(m)}(t)$は関数 $x_k$の$m$階導関数。
ロンスキアンがゼロでない場合、つまり、$W(x_1, x_2, \ldots, x_n)(t) \neq 0$の場合、$x_1, x_2, \ldots, x_n$は線形独立で、これらの関数は微分方程式の$n$個の解として一次独立している。$n$個の解が一次独立であるには、ロンスキアンがゼロでないことが必要十分条件である。
ロンスキアンは、微分方程式$$\frac{d}{dt} W = -p_1 W$$を満たし、$W$が$０$でないとしてこれを解くと、$$W = \exp\left(- \int p_1(t) dt \right)$$である。とくに、$p_1(t) \equiv 0$ならばロンスキアンは定数になる。

非同次線形微分方程式

式(1)の右辺が$0$ではなく$t$の関数$f(t)$である場合、$$x^{(n)} + p_1(t) x^{(n-1)} + \cdots +p_{n-1}(t)x' + p_n(t) x = f(t) \;\;\;\;\; \cdots (3)$$を非同次線形微分方程式という。重ね合わせの理から明らかなように、対応する同次線形微分方程式の基本解系$x_1,x_2,\ldots,x_n$と式(3)の特殊解$x_0$が見つかったとすれば、式(3)の一般解は、$$x = x_0 +C_1 x_1 + C_2 x_2 + \ldots + C_n x_n \;\;\;\; \cdots (4)$$で与えられる。

非同次線形微分方程式の一般解

式(3)の解は定数変化法によって構成できる。解として式(2)の任意定数$C_k$を未知関数$v_k$に置き換えた形$$x = x_1 v_1 + x_2 v_2 + \ldots +x_n v_n \;\;\;\;\cdots (5)$$で書く。ここで、$v_1 , v_2, \ldots, v_n$は、式(5)の１階微分方程式である式(6)に示す$n$元連立１次方程式を満足するように選ぶ。$$x_1^{(j)}v_1' + x_2^{(j)} v_2' + \ldots + x_n^{(j)} v_n' = 0 \;\;\; (j = 0,1,\ldots,n-2) \\ x_1^{(n-1)}v_1' + x_2^{(n-1)} v_2' + \ldots + x_n^{(n-1)} v_n' = f \;\;\; \cdots (6)$$ 式(5)を逐次微分すると、式(6)により$x_k$の方だけが微分された形となる。つまり、$$x^{(j)} = x_1^{(j)}v_1 + x_2^{(j)}v_2 + \ldots + x_n^{(j)} v_n \;\;\; (j = 0,1,\ldots,n-1) \\ x^{(n)} = x_1^{(n)}v_1 + x_2^{(n)} v_2 + \ldots +x_n^{(n)} v_n + f \;\;\; \cdots (7)$$を得る。式(7)の上式をまとめて$x$に対する式と見て、$p$との内積を作ると、$$(p \cdot x) = (p \cdot x_1)v_1 + (p \cdot x_2)v_2 + \ldots + (p \cdot x_n)v_n \;\;\; \cdots (8)$$となる。ここで、$p \equiv (p_n ,\; p_{n-1},\;\cdots,\; p_1)$、$x \equiv (x,\;x',\; \cdots,\;x^{(n-1)})^T$ （$T$は転置）である。式(8)と式(7)の下式を加え、$x_k^{(n)} + (p \cdot x_k)=0$を使うと、$$x^{(n)} +(p \cdot x) = f$$となる。これは、$x$が式(3)の解となっていることを示している。$v_k'$から$v_k$を作るときに任意定数$C_k$がつくので、これは一般解である。

式(6)の連立１次代数方程式は、クラメルの解法で解ける。
$n$次元縦ベクトル$f \equiv (0,0, \ldots, 0,f)^T$を導入すると、$$W_k = \det(x_1,x_2,\ldots, x_{k-1},f,x_{k+1}, \ldots ,x_n)$$とおいて、$$v_k' = \frac{W_k}{W}$$と求まる。よって、一般解は式(4)より、$$x = \sum_{k=1}^n x_k \int \frac{W_k}{W} dt$$である。$n=2$とすると、$$x = -x_1\int \frac{fx_2}{x_1 x_2' - x_2 x_1'} dt \\+ x_2 \int \frac{f x_1}{x_1 x_2' - x_2 x_1'} dt$$である。

クラメルの解法

連立方程式$$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n = b_n$$に対して、未知数$x_1, x_2, \dots, x_n$を求める。この連立一次方程式の形は次のように表される。$$A \mathbf {x} = \mathbf{b}$$ここで、$\mathbf{b}$は定数ベクトル、$A$は係数行列（$n \times n$）の正方行列、$\mathbf{x}$は未知数ベクトル。また、$\det A \neq 0$とする。
係数行列$A$は次のように定義される。$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}$$この行列の行列式 $\det(A)$を計算する。
係数行列$A$の第 $i$ 列をベクトル $\mathbf{b}$に置き換えた行列$A_i$を求める。例えば、$x_1$を求める場合、$A_1$は以下のようになる。$$A_1 = \begin{pmatrix} b_1 & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ b_2 & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_n & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}$$各未知数$x_i$は次の式で計算される。$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$これを各$i$に対して実行する。

定数係数同次線形微分方程式

$n$階同次線形微分方程式の基本解系を求める一般的な方法はないが、定数係数であれば可能である。式(1)において、$p_k$が全て定数の場合、つまり、$$x^{(n)} + p_1 x^{(n-1)} + \ldots + p_{n-1} x' + p_n x = 0 \;\;\; \cdots (9)$$は、基本解系が求まる。$x = e^{\alpha t}$おいて、これを式(9)に代入し、$e^{-\alpha t}$を乗じると$$\alpha^n + p_1 \alpha^{n-1} + \ldots + p_{n-1} \alpha + p_n = 0 \;\;\; \cdots (10)$$という$\alpha$に関する$n$次代数方程式が得られる。式(10)を式(9)の特性方程式という。$\alpha=\alpha_k$が特性方程式の解であれば、$x=e^{\alpha_k t}$は式(9)の特殊解である。よって、もし式(10)が重解をもたなければ、一般解は、$$x =C_1 e^{\alpha_1 t} + \ldots + C_n e^{\alpha_n t}$$となる。$\alpha_k$が実数でない場合、実数表示が欲しい場合は、オイラーの公式を使って三角関数に書き直せば良い。
例えば、$x'' + a^2 x =0$の微分方程式の特性方程式は、$\alpha^2 + a^2 = 0$なので、特性方程式の解は、$\alpha = \pm j a$となり、$$x=C_1e^{ja t} + C_2 e^{-jat}$$が一般解となる。ここで、オイラーの公式を使うと、$$x(t)=C_1(\cos(at)+j\sin(at))+C2(\cos(at)−j\sin(at))$$さらに、実部と虚部を分けるために展開すると、$$x(t) = (C_1 + C_2)\cos(at) + j(C_1 - C_2)\sin(at)$$となる。ここで、$C_1 + C_2$と $j(C_1 - C_2)$を新しい任意定数として置き換え、$A = C_1 + C_2, \quad B = j(C_1 - C_2)$とする。ただし、最終的には実数解を得る必要があるので、$C_1$と$C_2$を適切に選び、$A$と$B$を実数にする。したがって、一般解は、$$x(t) = A\cos(at) + B\sin(at)$$と書ける。ここで、$A$と$B$は任意の実数定数。
式(10)の特性方程式の解が重解を持つ場合は、極限をとることで一般解の形が求まる。例えば、$e^{\alpha_1 t}$と$e^{\alpha_2 t}$の$\alpha_2 \to \alpha_1$の極限で、$e^{\alpha_1 t}$と一次独立なものは、$$\lim_{\alpha_2 \to \alpha_1} \frac{e^{\alpha_2 t} - e^{\alpha_1 t}}{\alpha_2 - \alpha_1} = \frac{\partial e^{\alpha_1 t}}{\partial \alpha_1} = t e^{\alpha_1 t}$$である。同様にして、$m$重解の一次独立なものは、$e^{\alpha_1 t}, t e^{\alpha_1 t}, \ldots ,t^{m-1} e^{\alpha_1 t}$である。従って、一般解の重解に対応する項は次の形で構成される。$$x(t) = e^{\alpha_1 t} \big(C_1 + C_2 t + C_3 t^2 + \dots + C_m t^{m-1} \big)$$ここで、$C_1, C_2, \dots, C_m$は任意定数。$\alpha_1$は重解。
例えば、2次の微分方程式、$x′′−4x′+4x=0$で、特性方程式を立てると$$\alpha^2 - 4\alpha + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad (\alpha - 2)^2 = 0$$この特性方程式は $\alpha=2$という重解を持つ（重複度 2）。よって、この微分方程式の一般解は$$x(t) = e^{2t}(C_1 + C_2 t)$$となる。

カテゴリー: 電気数学