17. 境界値問題（微分方程式）

２階同次線形微分方程式の境界値問題を考える。初期値問題は、独立変数\(t\)のある１点における未知関数\(x(t)\)の値と導関数\(x'(t)\)の値を与えて、微分方程式の解を求める問題である。これに対して、境界値問題とは、微分方程式とそれに付随する境界条件を満たす解を求める問題のことで、相異なる２点における\(x(t)\)と\(x'(t)\)との関係を指定し、それを満たすような微分方程式の解を求める問題である。例えば、初期値問題は、振り子の初期の位置と速度を指定したときの運動を求めることであり、境界値問題は、弦の両端が固定されたときの振動モードを求めることである。
微分方程式の非自明な解は一般には存在しないので、微分方程式にパラメータ\(\lambda\)を含ませ、\(\lambda\)がどのような値のときに解があるかを調べる。この\(\lambda\)の値を固有値という。固有値\(\lambda = \lambda_n\)を指定したときの解を\(\lambda_n\)に属する固有関数という。固有値と固有関数を求めることが境界値問題の中心課題となる。

自己随伴微分方程式

２階同次線形微分方程式は、一般に式(1)で表せる。$$\left\{p_0(t)\frac{d^2}{dt^2} + p_1(t)\frac{d}{dt} +p_2(t)\right\}x(t) = 0 \;\;\; \cdots (1)$$これに任意関数\(z(t)\)を乗じて、閉区間\([a,b]\)で積分すると式(2)となる。$$\int_a^b z(t)\left\{p_0(t)\frac{d^2}{dt^2} + p_1(t)\frac{d}{dt} +p_2(t)\right\}x(t) dt =0 \;\;\;\cdots (2)$$ $$\int_a^b z(t)p_0(t)\frac{d^2x(t)}{dt^2}dt = \left[z(t)p_0(t)\frac{dx(t)}{dt}\right]_a^b - \int_a^b \frac{dz(t)}{dt}p_0(t)\frac{dx(t)}{dt}dt \\ \int_a^b \frac{dz(t)}{dt}p_0(t)\frac{dx(t)}{dt}dt = \left[\frac{dz(t)}{dt} p_0(t) x(t)\right]_a^b - \int_a^b \frac{d^2z(t)}{dt^2} p_0(t)x(t)dt$$よって、$$\int_a^b z(t)p_0(t)\frac{d^2x(t)}{dt^2}dt = \left[z(t)p_0(t)\frac{dx(t)}{dt} - \frac{dz(t)}{dt}p_0(t)x(t)\right]_a^b +\int_a^b \frac{d^2z(t)}{dt^2} p_0(t)x(t)dt$$となる。次に、$$\int_a^b z(t)p_1(t)\frac{dx(t)}{dt}dt = \left[z(t)p_1(t)x(t)\right]_a^b - \int_a^b \frac{dz(t)}{dt}p_1(t)x(t)dt$$である。以上より、$$\int_a^b z(t)\left\{p_0(t)\frac{d^2}{dt^2} + p_1(t)\frac{d}{dt} +p_2(t)\right\}x(t) dt\\ =\left[z(t)p_0(t)\frac{dx(t)}{dt} - \frac{dz(t)}{dt}p_0(t)x(t) \right]_a^b + \left[z(t)p_1(t)x(t)\right]_a^b \\ + \int_a^b \left\{\frac{d^2z(t)}{dt^2}p_0(t) - \frac{dz(t)}{dt}p_1(t) + z(t)p_2(t)\right\}x(t)dt$$となる。従って、積分の上下限からの寄与で書ける項が落ちると仮定すると、$$\int_a^b z(t)\left\{p_0(t)\frac{d^2}{dt^2} - p_1(t)\frac{d}{dt} +p_2(t)\right\}x(t) dt \\=\int_a^b \left\{\frac{d^2z(t)}{dt^2}p_0(t) - \frac{dz(t)}{dt}p_1(t) + z(t)p_2(t)\right\}x(t)dt = 0$$である。ここで、\(x(t)\)を任意関数と見なおせば、\(z(t)\)に関する微分方程式 式(3)を得る。$$\left\{p_0(t)\frac{d^2}{dt^2} - p_1(t)\frac{d}{dt} + p_2(t)\right\}z(t) = 0 \;\;\; \cdots(3)$$これを式(1)の随伴微分方程式という。随伴微分方程式がもとの微分方程式に一致するとき、その微分方程式を自己随伴微分方程式という。自己随伴微分方程式は、通常、式(4)の形で書かれる。$$\left(\frac{d}{dt}p(t)\frac{d}{dt} + r(t)\right)x(t) = 0 \;\;\; \cdots (4)$$左端の微分演算子は、\(p(t)\)及び\(\frac{dx(t)}{dt}\)に作用する。任意の２階同次線形微分方程式は、適当な積分因子を乗ずると自己随伴微分方程式になる。
・ルジャンドルの微分方程式$$(1-z^2)\frac{d^2x}{dz^2} - 2z\frac{dx}{dz} +\nu(\nu +1)x=0$$は、そのままで式(4)の形に書ける。$$\left(\frac{d}{dz}(1-z^2)\frac{d}{dz} + \nu(\nu+1)\right)x=0$$・ベッセルの微分方程式$$t^2 x''+tx'+(t^2-\nu^2)x=0$$は、積分因子\(1/t\)を乗ずると、$$t x''+x'+ \frac{t^2 - \nu^2}{t} x =0 \\ \left(\frac{d}{dt}t \frac{d}{dt} + t - \frac{\nu^2}{t}\right)x = 0$$と書ける。
・ラゲールの微分方程式$$tx'' +(1-t)x' +\nu x=0$$は、積分因子\(e^{-t}\)を乗ずると、\(e^{−t}tx′′+e^{−t}(1−t)x′+e^{−t}\nu x=0\)であり、$$e^{−t}tx′′+e^{−t}(1−t)x′=\frac{d​(e^{−t}tx′)}{dt}$$なので、$$\left(\frac{d}{dt}te^{-t}\frac{d}{dt} + \nu e^{-t}\right)x=0$$と書ける。

スツルム・リューヴィルの理論

式(4)にパラメータ\(\lambda\)をあらわに書き込んで式(5)とする。$$\left(\frac{d}{dt}p(t)\frac{d}{dt} + q(t) + \lambda w(t)\right)x(t) = 0 \;\;\; \cdots (5)$$ここで、\(p(t) \gt 0\)：非負の 重み付き微分演算子の係数関数、\(q(t)\)： ポテンシャル関数、\(w(t) \gt 0\)： 重み関数、\(\lambda\)： 固有値、\(x(t)\)： 固有関数、とする。スツルム・リューヴィルの境界値問題では、閉区間\([a,\;b]\)において、\(p(t),\;q(t),\;w(t)\)はいずれも連続な実関数である。また、境界条件は、$$p(a)x'(a)\sin\alpha - x(a)\cos\alpha = 0 \\p(b)x'(b)\sin\beta - x(b)\cos\beta =0 \;\;\; \cdots (6)$$と設定する。\(\alpha,\;\beta\)は定数である。とくに、\(\alpha=0,\;\beta=0\)ならば、境界条件は、\(x(a) = x(b)=0\)である。
スツルム・リューヴィルの理論から、次の結果が得られる。
１．固有値の実数性：スツルム・リューヴィル系の固有値 \(\lambda\)は常に実数である。これは、問題が自己随伴性を持つために保証される。
２．固有関数の直交性：異なる固有値に対応する固有関数 \(x_m(t)\)と\(x_n(t)\)は、重み関数を\(w(t)\)とする式(7)の直交条件を満たす。$$\int_a^b x_m(t) x_n(t) w(t) dt = 0 \quad (\text{if } m \neq n) \;\;\; \cdots(7)$$
３．固有値の無限列：スツルム・リューヴィル系の固有値は無限に存在し、通常増加する。$$\lambda_1​ \lt \lambda_2 \lt ​\lambda_3 \lt \cdots \lt \lambda_n \lt \cdots; \;\;\;\;\; \lim_{n \to \infty} \lambda_n = \infty$$
４．固有関数系の完全性：\(x(t)\)が境界条件 式(6)を満たす連続関数で、すべての\(n\)について、$$\int_a^b w(t)x(t)x_n(t)=0 \;\;\; \cdots (8)$$であるならば、\(x(t)=0\)である。

固有関数の直交性

式(5)より、$$\left(\frac{d}{dt}p(t)\frac{d}{dt} + q(t) + \lambda_n w(t)\right)x_n(t) = 0 \\ \left(\frac{d}{dt}p(t)\frac{d}{dt} + q(t) + \lambda_m w(t)\right)x_m(t) = 0$$である。第１式に\(x_m(t)\)を乗じ、第２式に\(x_n(t)\)を乗じて、両式の差をとると、$$K_{mn}(t) +(\lambda_n - \lambda_m)w(t)x_m(t) x_n(t)=0 \;\;\; \cdots (9)$$となる。ただし、$$K_{mn}(t)=x_m(t)\frac{d}{dt}\left(p(t)x_n'(t)\right) - x_n(t)\frac{d}{dt}\left(p(t) x_m'(t)\right)$$である。これを\(a\)から\(b\)まで積分すると、$$\int_a^b K_{mn}(t) dt = \left(x_m(b)p(b)x_n'(b) - x_n(b)p(b)x_m'(b)\right) - \left(x_m(a)p(a)x_n'(a) - x_n(a)p(a)x_m'(a)\right)$$となるが、\(p(c)x_n'(c)\)と\(p(c)x_m'(c)\)\((c=a,b)\)を境界条件 式(6)を使って消去すると、これは0である。従って、式(9)より、$$(\lambda_n - \lambda_m)\int_a^b w(t)x_m(t) x_n(t) = 0$$となる。\(m \neq n\)のとき、\(\lambda_n - \lambda_m \neq 0\)なので、式(7)を得る。

完全直交系

スツルム・リューヴィル理論では、固有関数が完全直交系を構成することが保証されている。この性質は、以下のように直感的に確認される。
\(m=n\)の場合、式(7)の積分は正定値となる。そこで、$$\int_a^b w(t)[x_n(t)]^2 dt =N_n^2 \;\;\; (N_n \gt 0)$$とおく。\(N_n\)を規格化定数という。また、規格化された固有関数を$$\hat{x}_n(t)=\frac{1}{N_n}x_n(t)$$で定義する。このとき、規格化された直交条件は式(10)となる。$$\int_a^b w(t)\hat{x}_m(t)\hat{x}_n(t)=\delta_{mn} \;\;\; \cdots (10)$$式(10)の右辺はクロネッカーのデルタ関数である。

式(11)の両辺は、パーセバルの等式より、$$\lim_{N \to \infty} \int_a^b w(t) \left|g(t) - \sum_{n=1}^N c_n \hat{x}_n(t) \right|^2 dt = 0$$が成立する。これにより、固有関数が完全性を持つことが確認される。なお、完全性とは、固有関数 \({x_n(t)}\)が関数空間内の任意の関数を近似するための基底として十分であることを指す。
スツルム・リューヴィルの境界値問題の固有関数系は完全直交系をなす。