13. 波動方程式

電磁波を考える上で参照となる、波動方程式についてまとめる。波動方程式は、振動現象 や 波の伝播 を記述する基本的な微分方程式であり、音波・電磁波・水面波・弦の振動 など多くの物理現象に適用される。
※数学部分に関しては、19. 偏微分方程式（微分方程式）を参考にしてください。

一般的な波動方程式の導出

波動方程式を導くために、基本的な例として 弦の横波（１次元の場合） を考える。

弦の微小部分の運動方程式

弦を\(x\)軸に沿って張り、弦の変位（たわみ）を\(u(x,t)\)とする。ここで、\(u(x,t)\)は位置\(x\)での時間\(t\)における弦の振幅（変位） である。
張力\(T\)を考え、微小区間 \([x, x + dx]\)に働く力を考える。質量要素 は \(dm = \rho dx\)（密度 \(\rho\) [kg/m] とする）。弦の両端に働く張力\(T\)の向きを考えると、\(x\)の位置での張力は\(T_x = T \sin \theta\)である。微小角度で近似すると、\(\sin \theta \approx \tan \theta \approx \frac{\partial u}{\partial x}\)となるので、\(T_x \approx T \frac{\partial u}{\partial x}\)である。\(x + dx\)では、同様に$$T_{x+dx} \approx T \frac{\partial u}{\partial x} \Big|_{x+dx}$$である。​よって、弦の微小区間に働く力の差（合力）は$$F = T \left( \frac{\partial u}{\partial x} \Big|_{x+dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \Big|_{x} \right)$$なので、微分の定義より、$$F = T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} dx$$となる。
これに、ニュートンの運動方程式 を適用すると、$$\rho dx \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} dx$$両辺を\(dx\)で割ると、式(1)の１次元の波動方程式 を得る。$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{T}{\rho} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \;\;\; \cdots (1)$$​さらに、波の速度 を$$c = \sqrt{\frac{T}{\rho}}$$と定義すると、式(2)の最も基本的な波動方程式が得られる。$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\;\;\; \cdots (2)$$​​

３次元の波動方程式

波動方程式の一般形は、物理量\(u(x, y, z, t)\)が時間\(t\)と空間座標\((x, y, z)\)に依存して変化することを示す。$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2$$ここで\(u(x,y,z,t)\) は振幅（音圧、電場、変位など）、\(c\)は波の速度、\(\nabla^2\)は ラプラス演算子で、3次元では$$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$$である。
※ラプラス演算子（ラプラシアン）に関しては、19. 偏微分方程式（微分方程式）を参考にしてください。
従って、3次元の波動方程式は$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right)$$である。

3次元の媒質中の波の伝播

波動方程式の導出として3次元の媒質中の波の伝播 を考える。
密度\(\rho\)の媒質の中で、圧力分布 \(p(x, y, z, t)\)による力のバランスを考える。媒質の微小体積要素 \(dV = dx\, dy\, dz\)に働く力は、圧力の勾配（圧力変化の空間微分）によって決まる。質量要素\(dm = \rho dV\)に対し、圧力\(p(x,y,z,t)\)の変化による運動方程式は$$\rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = - \nabla p \;\;\; \cdots (3)$$である。各点における媒質粒子の速度を速度場\(v(x,y,z,t)\)とすると、圧力\(p(x,y,z,t)\)による力は、圧力の勾配によって決まり、$$\mathbf{F}=−\nabla p$$で、成分ごとに書くと、$$F_x = -\frac{\partial p}{\partial x}, \quad F_y = -\frac{\partial p}{\partial y}, \quad F_z = -\frac{\partial p}{\partial z}$$である。従って、微小体積 \(dV\)に働く力 \(dF_x\)は、$$dF_x = -\frac{\partial p}{\partial x} dV$$である。\(y,\;z\)方向も同様に考えて$$d\mathbf{F} = -\left(\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}\right)dV= -\nabla p dx\,dy\,dz$$である。質量要素\(dm\)の運動方程式（\(F = ma\)）を適用すると、$$dm\frac{\partial v}{\partial t} = d \mathbf{F}$$\(dm=\rho dV= \rho dxdydz\)なので、運動方程式は、$$\rho \frac{\partial v}{\partial t} dx\, dy\, dz = - \nabla p dx\, dy\, dz$$ここで、勾配ベクトル\(\nabla p\)を用いると、全体の運動方程式は$$\rho \frac{\partial v}{\partial t} = - \nabla p$$となる。これが式(3)である。これを書き下すと、$$\rho \frac{\partial v_x}{\partial t} = -\frac{\partial p}{\partial x} ,\quad \rho \frac{\partial v_y}{\partial t} = -\frac{\partial p}{\partial y} ,\quad \rho \frac{\partial v_z}{\partial t} = -\frac{\partial p}{\partial z} \;\;\;\cdots (4) $$

一方、流体における質量保存則は、密度 \(\rho\)と速度場 \(\mathbf{v}\)に関する連続の式として表される。$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0$$非圧縮性流体の場合は \(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\)となるが、圧縮性流体を考える場合、密度の時間変化を考慮する必要がある。小さな圧力変化を考える場合、密度 \(\rho\)は平衡密度\(\rho_0\)からの微小な摂動として表せる。\(\rho = \rho_0 + \rho'\)ここで、\(\rho'\)は小さい摂動量である。流体の密度変化は体積弾性率\(K\)を用いて\(\rho' = \frac{p'}{K}\)で表される。ここで、体積弾性率 \(K\)は、密度変化と圧力変化の関係を表す量で、次のように定義される。$$K = - V \frac{dP}{dV}$$または、密度変化に関して表すと、$$K = \rho_0 \frac{dP}{d\rho}$$小さな圧力変化\( p'\)に対する密度の変化 \(\rho'\)を考えると$$\rho' = \frac{p'}{K}$$なので、密度の時間変化は、$$\frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{\rho_0}{K} \frac{\partial p}{\partial t}$$​と表せる。
連続の式で密度変化が小さい場合、\(\rho \approx \rho_0\) と近似できるので、$$\frac{\rho_0}{K} \frac{\partial p}{\partial t} + \rho_0 \nabla \cdot \mathbf{v} = 0$$これを変形すると、$$\frac{\partial p}{\partial t} = -K \nabla \cdot \mathbf{v}$$これが圧力と速度の関係式である。
両辺をさらに時間微分すると、$$\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = -K \frac{\partial}{\partial t}\nabla \cdot \mathbf{v} = -K\left(\frac{\partial^2 v_x}{\partial t \partial x} + \frac{\partial^2 v_y}{\partial t \partial y} +\frac{\partial^2 v_z}{\partial t \partial z} \right)$$となる。​これに式(4)の関係を適用すると、$$\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} =\frac{K}{\rho}\left(\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 p}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 p}{\partial z^2} \right) \\ = \frac{K}{\rho} \nabla^2 p$$となる。ここで、 $$c = \sqrt{\frac{K}{\rho}}$$を音速とすると、３次元の波動方程式$$\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 p$$が得られる。