8-2. エネルギーとハミルトニアン

ハミルトニアンは、「物理系のエネルギーを表し、運動を決定する最も基本的な関数」であり、解析力学から量子力学・統計力学に至るまで幅広く適用される概念である。

エネルギー

エネルギーとは、物理系が持つ 運動の能力を表す量 であり、一般に以下の2種類に分けられる。
１） 運動エネルギー
物体が持つ運動に関連するエネルギーは、$$T = \frac{1}{2} m v^2$$である。
一般化座標\(q\)を用いると、$$T = \frac{1}{2} m \dot{q}^2$$と表せる。
２） ポテンシャルエネルギー
力学的な位置エネルギーは、\(U(q)\)と表す。
ポテンシャルエネルギーの例として、$$U = \frac{1}{2} k q^2 \;\;\text{バネ力（フックの法則）}$$ $$ U=mgh \;\; \text{重力場} $$がある。（この他、電気ポテンシャルエネルギー、化学ポテンシャルエネルギーなどがある。）

ハミルトニアン

ハミルトニアンは、エネルギーと関連する関数として式(1)で定義される。ハミルトニアン は、系の状態を座標 \(q_i\) と運動量 \(p_i\)を使って表す関数で、力学系の全エネルギー を表す。

ハミルトニアンの定義を式(1)に示す。$$H(q_i, p_i, t) = \sum_i \dot{q_i} p_i - L(q_i, \dot{q_i}, t) \;\;\; \cdots (1)$$ここで、\(H\)（ハミルトニアン）は系のエネルギーに対応する関数、\(L\)（ラグランジアン）は\(L = T - U\)（運動エネルギー とポテンシャルエネルギーの差）、\(q_i\)​（一般化座標）は座標変数、\(\dot{q_i}\)は一般化速度、である。
また、$$p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$$は一般化運動量である。

ハミルトニアンは 力学的エネルギー（運動エネルギー + ポテンシャルエネルギー）と一致する場合が多い。ただし、これはラグランジアンが 速度に関して2次形式 であり、時間に陽に依存しない場合に限る。
ラグランジアンは、運動エネルギー \(T\)と ポテンシャルエネルギー\(U\)の差で、\(L = T - U\)で、ハミルトニアンは、$$H = \sum_i \dot{q_i} p_i - L$$である。ここで、運動エネルギー\(T\)は、$$T = \frac{1}{2}\sum_i m_i \dot{q_i}^2$$である。ポテンシャルエネルギー \(U\)は速度に依存しないと仮定し（典型的な保存力の場合）、一般化運動量 を計算すると、$$p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} = \frac{\partial (T - U)}{\partial \dot{q_i}} = \frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}}$$運動エネルギーは速度の2次形式なので、$$p_i = m_i \dot{q_i}$$となる。これをハミルトニアンの定義 に代入する。\(\dot{q_i} p_i\)​を計算すると$$\dot{q_i} p_i = \dot{q_i}(m_i \dot{q_i}) = m_i \dot{q_i}^2$$となる。よって、ハミルトニアンは、$$H = \sum_i m_i \dot{q_i}^2 - (T - U)$$ここで、運動エネルギー\(T\)は、\(T = \frac{1}{2} \sum_i m_i \dot{q_i}^2\)なので、$$H = 2T - (T - U)=T+U$$が得られる。以上より、ハミルトニアンは全エネルギー（運動エネルギー + ポテンシャルエネルギー） になることが分かる。

・ハミルトニアンの具体例
１次元の質点の運動を考える。運動エネルギーは、$$T = \frac{1}{2} m \dot{x}^2$$であり、ポテンシャルエネルギーは、\(U(x)\)とする。このとき、ラグランジアンは、$$L = T - U = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - U(x)$$であり、一般化運動量は、$$p = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m \dot{x}$$である。ハミルトニアンは、$$H = \dot{x} p - L = \dot{x}(m \dot{x}) - \left( \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - U(x) \right)$$で、整理すると$$H = \frac{p^2}{2m} + U(x)$$となる。これは、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和になっている。

ハミルトンの運動方程式

ハミルトンの運動方程式は、古典力学における運動方程式の一種であり、ラグランジュ形式の力学をさらに発展させたものである。ハミルトン形式では、系の状態を一般化座標と一般化運動量\((q,p)\)という2つの変数で記述し、ハミルトニアンという関数を用いて運動方程式を表す。ハミルトニアンを用いると、式(2)に示すハミルトンの運動方程式 が得られる。$$\frac{dq_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \;\;\; \cdots (2)$$式(2)の2つの式は、ラグランジュ方程式と同じ運動を記述しているが、\((q, p)\)の 正準変数 を使うことで、より対称的な形式となる。

式(2)の第1式$$ \frac{dq_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}$$の左辺は位置の時間変化を、右辺は運動量に関する勾配となっており、運動量と速度の関係を表している。例えば、自由粒子の場合であれば、$$\frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} = v$$となる。
式(2)の第2式 $$\frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$$の左辺は、運動量の時間変化（すなわち力）を、右辺は位置に関する勾配となっており、これは実質的にニュートンの運動方程式そのもので$$\frac{dp}{dt} = -\frac{\partial U}{\partial q} = F$$である。
つまり、ハミルトン方程式は「運動量と位置の連動」をエネルギー関数から直接計算する枠組みとなっている。