2. 周波数応答

2-1. １次遅れ要素のベクトル軌跡

次の式で示す1次遅れ要素のベクトル軌跡を作成せよ。$$G(s) = \frac{3}{1 + 4s}$$

解答例：1次遅れ要素のゲインと位相を求める。\(s \to j\omega\)により、$$G(j \omega) = \frac{3}{1 + j 4 \omega}$$と周波数伝達関数となる。従って、ゲインは$$|G(j \omega)| = \frac{3}{\sqrt{1 + (4 \omega)^2}}$$また、位相は$$\angle{G(j \omega)} = -\tan^{-1}(4 \omega)$$となる。\(\omega \to +0 \)のときは、$$|G(j 0)| =3,\quad \angle{G(j 0)}=0$$となる。\(\omega\)が増加するにつれて、ゲイン、位相ともに減少し、\(\omega \to \infty\)のとき、$$|G(j \infty)| =0,\quad \angle{G(j \infty)}=-\frac{\pi}{2}$$となる。

※Scilabによる、ベクトル軌跡を図１に示す。Scilabの関数「nyquist()」では\(\omega = -\infty \to +\infty\)の範囲のナイキスト軌跡を描画する。また、図２にボード線図を示す。

2-2. 直列結合要素のベクトル軌跡

次の式で示す１次遅れ要素とむだ時間要素を直列結合した要素のベクトル軌跡を作成せよ。$$G(s) = \frac{3e^{-s}}{1+4 s}$$

解答例：むだ時間要素\(L(s) = e^{-s}\)のゲインは$$|L(j \omega)|=|e^{-j \omega}|=|\cos(-\omega)+j\sin(-\omega)|=1$$であり、位相は$$\angle{L(j\omega)}=\tan^{-1}\frac{\sin(-\omega)}{\cos(-\omega)}=-\omega$$である。よって、\(G(s)\)のゲインは$$|G(j \omega)| = \frac{3}{\sqrt{1 + (4 \omega)^2}}$$で、位相は$$\angle{G(j \omega)} = -\omega -\tan^{-1}(4 \omega)$$となる。\(\omega \to +0 \)のときは、$$|G(j 0)| =3,\quad \angle{G(j 0)}=0$$であり、\(\omega\)が増加するにつれ、ゲイン、位相ともに減少し、\(\omega \to \infty\)のとき、$$|G(j \infty)| =0$$となるが、位相は遅れ続けることになる。

※Scilabでは、むだ時間要素\(e^{-s}\)は直接扱えないので、これを有理関数で近似することで、数値計算できるようにする。一般的には Padé近似を使う。１次Padé近似は、$$e^{-s} \approx \frac{1 - \frac{s}{2}}{1 + \frac{s}{2}}$$また、​​３次Padé近似は、$$e^{-s} \approx \frac{1 - \frac{3s}{4} + \frac{s^2}{8} - \frac{s^3}{48}}{1 + \frac{3s}{4} + \frac{s^2}{8} + \frac{s^3}{48}}$$である。​​
図３にナイキスト軌跡を示す。また、図４にボード線図を示す。図２と比べると、位相特性に大きな位相遅れが生じていることが分かる。

2-3. ２次遅れ要素のベクトル軌跡

次の式で示す２次遅れ要素のベクトル軌跡を作成せよ。$$G(s) = \frac{2}{(1+3 s)(1 + 4s)}$$

解答例：\(G(s)\)において\(s \to j\omega\)により、$$G(j \omega) = \frac{2}{(1 + j3\omega)(1 + j 4\omega)}$$の周波数伝達関数となる。これより、ゲインは$$|G(j \omega)| = \frac{2}{|1+ j3 \omega||1 + j 4 \omega|} = \frac{2}{\sqrt{1 + (3 \omega)^2} \sqrt{1 + (4\omega)^2}}$$また、位相は$$\angle{G(j \omega} = - \angle{1 + j 3\omega} - \angle{1 + j 4 \omega} = -\tan^{-1}(3 \omega) - \tan^{-1} (4 \omega)$$となる。\(\omega \to +0 \)のとき、\(|G(j 0)| = 2,\quad \angle{G(j 0)} = 0\)となり、\(\omega \to \infty\)のとき、\(|G(j\infty)| = 0,\quad \angle{G(j \infty)} = - \pi\)となる。

※Scilabによる、ベクトル軌跡を図５に示す。Scilabの関数「nyquist()」では\(\omega = -\infty \to +\infty\)の範囲のナイキスト軌跡を描画する。また、図６にボード線図を示す。ボード線図より、位相が180度まで遅れる（\(-\pi\)となる）ことが分かる。