11. マクスウェルの方程式

マクスウェルの方程式は、「電磁気学の究極の4式」 である。電場と磁場の関係を記述する 4つの基本方程式 で、電磁気学の基礎をなすものである。これらの方程式は、電場と磁場がどのように発生し、相互作用するかを説明し、電磁波の存在や光との関係を理論的に導いた 重要な理論式となっている。
マクスウェルの方程式は、微分形（局所的な場の変化を記述）と 積分形（場全体の性質を記述）の2つの形式がある。

ガウスの法則（電場の発散）

電場に関するガウスの法則は、電場 \(\mathbf{E}\) は電荷から発生することを表す。
積分形式：$$\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$​微分形式：$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$これらの式は、以下の２点を意味する。
・電場\(\mathbf{E}\)の発散は、電荷密度\(\rho\) に比例する。
・電場の源（発生源）は電荷である（電場は、正電荷から出て負電荷に向かう）。

ガウスの法則（磁場の発散）

磁場に関するガウスの法則は、磁場 \(\mathbf{B}\) に発生源（磁荷）は存在しないことを表す。
積分形式：$$\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} =0$$微分形式：$$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$これらの式は、以下の２点を意味する。
・磁場は「磁気単極子（単独のN極やS極）」を持たず、常に閉じたループを形成する。
・磁場の発散はゼロ（磁場の線はどこからも湧き出ず、どこにも消えない）。

ファラデーの電磁誘導の法則

ファラデーの電磁誘導の法則は、磁場の変化で電場を生じる（電磁誘導）ことを表す。
積分形式：$$\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S}$$微分形式：$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$これらの式は、以下を意味する。
・時間変化する磁場が、電場を発生させる（電磁誘導の原理）。
（発電機やワイヤレス充電などの原理である。）

アンペール・マクスウェルの法則

アンペール・マクスウェルの法則は、電流または時間変化する電場が磁場を生じることを表す。
積分形式：$$\oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 \left( I + \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \int_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} \right)$$微分形式：$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$これらの式は、以下の点を意味する。
・電流が磁場を生じる（アンペールの法則）
・時間変化する電場も磁場を生じる（マクスウェルの修正）。
（これが「電場と磁場が互いに変化しながら伝わる＝電磁波の存在」の根拠となる。）

電磁波の波動方程式

真空中におけるマクスウェルの方程式は、電荷密度 \(\rho = 0\) 、電流密度 \(\mathbf{J} = 0\)なので、次のようになる。
１．ガウスの法則（電場） $$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$$
２．ガウスの法則（磁場） $$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$
３．ファラデーの電磁誘導の法則 $$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$
４．アンペール・マクスウェルの法則 $$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$
ここから、電場と磁場の波動方程式を導く。

電場の波動方程式の導出

ファラデーの法則より、$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$この両辺に \(\nabla \times\)を再び作用 させると、$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = - \nabla \times \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$ここで、アンペール・マクスウェルの法則より、$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$を代入すると、$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right)$$つまり、$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$$また、ベクトル解析の恒等式\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}\)を使い、ガウスの法則（ \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\) ）より最初の項は消えるため、$$-\nabla^2 \mathbf{E} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$$以上より、電場の波動方程式が得られる。$$\nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$$

磁場の波動方程式の導出

アンペール・マクスウェルの法則より、$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$この両辺に再び \(\nabla \times\)を作用 させると、$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B}) = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{E})$$ここで、ファラデーの法則より、$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$を代入すると、$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B}) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}$$また、ベクトル恒等式より、\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^2 \mathbf{B}\)を使い、ガウスの法則（ \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) ）より、最初の項は消えるため、$$-\nabla^2 \mathbf{B} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}$$以上より、磁場の波動方程式が得られる。$$\nabla^2 \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}$$​

電磁波の速度

電場と磁場の波動方程式は、$$\nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}, \quad \nabla^2 \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}$$であるが、これを一般的な波動方程式の形$$\nabla^2 \mathbf{X} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \mathbf{X}}{\partial t^2}$$と比較すると、電磁波の伝播速度\(v\) は、$$v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$$となる。真空中の\(\mu_0,\;\varepsilon_0\)を代入すると、$$c = \frac{1}{\sqrt{(4\pi \times 10^{-7}) \times (8.85 \times 10^{-12})}} \approx 3.0 \times 10^8 \text{ m/s}$$となる。これは、光速\(c\) と一致する。つまり、マクスウェルの方程式から 光（電磁波）は電場と磁場が交互に変化しながら伝わる波であることが理論的に示される。