34. 結合回路

2023年5月17日 2023年5月17日

tctyam

結合回路とは二つ以上の回路があって、一方の回路から他方の回路へ何らかの方法によって電力、電圧、電流が伝達される状態にあるとき、この二つの回路は電気的に結合されているといわれ、この回路は結合回路と呼ばれる。図「結合回路の種類」に様々な結合回路の例を示す。

図$(a)$は、自己誘導結合回路、図$(b)$は、相互インダクタンス$M$による相互誘導結合回路、図$(c)$は、抵抗結合回路、図$(d)$は、容量結合回路である。図$(a)$と$(b)$のような結合は一括して電磁結合といい、図$(a)$と$(c)$、$(d)$は導電結合しており、直接結合回路という。図$(b)$は磁束を介しているので、間接結合回路ともいわれる。

結合係数

結合回路の結合の程度を表すために結合係数が用いられる。結合係数$k$は次のように定義される。$$k = \frac{\dot{Z}_m}{\sqrt{\dot{Z}_1 \dot{Z}_2}}$$ここで、図$(e)$に示すように、$\dot{Z}_1$は二次側端子2-2'を開放したときの一次側端子1-1'から見たインピーダンス、$\dot{Z}_2$は一次側端子1-1'を開放した時二次側端子2-2'から見たインピーダンスである。$\dot{Z}_m$は、一次側と二次側の間の相互インピーダンスで、一般的に、端子1-1'以外が開放のとき、一次側の閉回路に流れる電流$\dot{I}_1$により二次側回路に生じる電圧$\dot{E}_2$と電流$\dot{I}_1$との比で、$\dot{Z}_{21} = \dot{E}_2 / \dot{I}_1$で与えられる。この関係を入れ換えたとき、同様にして、$\dot{Z}_{12} = \dot{E}_1 / \dot{I}_2$で与えられる。回路が線形で左右同形なら、$\dot{Z}_{12} = \dot{Z}_{21} = \dot{Z}_m$になる。一般には、$\dot{Z}_{12} ,\; \dot{Z}_{21},\; \dot{Z}_m$は、表「$\dot{Z}_{12} ,\; \dot{Z}_{21},\; \dot{Z}_m$の回路別定義」のように定める。

	電磁結合	容量結合	抵抗結合
$\dot{Z}_1$	一次回路の誘導リアクタンス	一次回路の容量リアクタンス	一次回路の抵抗
$\dot{Z}_2$	二次回路の誘導リアクタンス	二次回路の容量リアクタンス	二次回路の抵抗
$\dot{Z}_m$	一次、二次回路に共通の誘導リアクタンス	一次、二次回路に共通の容量リアクタンス	一次、二次回路に共通の抵抗

$\dot{Z}_{12} ,\; \dot{Z}_{21},\; \dot{Z}_m$の回路別定義

相互インダクタンス、相互リアクタンス

図「相互インダクタンスの回路」のような相互インダクタンス$M$ [H]で結合された回路で、自己インダクタンス$L_2$ [H] のコイルに角周波数$\omega$ [rad/s] の正弦波交流電流$i_2 = I_{m2} \sin \omega t $[A] が流れたとすると、相互誘導作用によって、$L_1$の回路に$$e_1^{'} = M \left( - \frac{di_2}{dt} \right) \;\;\; [V]$$の電圧が生じる。従って、相互インダクタンス$M$による電圧降下は、$$e_1 = M\frac{d i_2}{dt} \;\;[V]\;\; \cdots (1)$$と表せる。

ここで、$M$は二つのコイルによって生じる磁束$\phi_1 ,\; \phi_2$が同方向のときには$M \gt 0$、互いに反対方向のときは$M \lt 0 $の値をとるものとする。式(1)は、複素インピーダンス表示を使うと$$\dot{E}_1 = M\frac{d\dot{I}_2}{dt} = j \omega M \dot{I}_2 \;\;[V]$$となり、$\omega M \;[\Omega]$を相互リアクタンスといい、$X_M \; [\Omega]$で表す。
また、相互誘導結合における結合係数は、$$\dot{Z}_m = j \omega M, \;\;\; \dot{Z}_1 = j \omega L_1, \;\;\; \dot{Z}_2 = j \omega L_2$$から、$$k = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}$$となる。ここで、$L_1,\;L_2$の両方に鎖交する磁束$\phi_{12}$のほかに、他方のコイルには鎖交しない磁束$\phi_1,\;\phi_2$が生じるため $-1 \le k \le 1$ となり、漏れがなければ、$k = \pm 1$である。

結合回路の特性

図「一般的な結合回路」において、一次側回路のインピーダンスを$\dot{Z}_1$、二次側回路のインピーダンスを$\dot{Z}_2$、共通のインピーダンス（相互インピーダンス）を$\dot{Z}_m$とすると、キルヒホッフの法則（KVL）から$$\dot{E} - \dot{Z}_1 \dot{I}_1 - \dot{Z}_m (\dot{I}_1 + \dot{I}_2) = 0 \\ \dot{Z}_m(\dot{I}_2 + \dot{I}_1) + \dot{Z}_2 \dot{I}_2 = 0$$となる。

よって、$$\dot{I}_1 = \frac{\dot{E}}{\dot{Z}_1 + \frac{\dot{Z}_m \dot{Z}_2}{\dot{Z}_2 + \dot{Z}_m}} , \;\;\;\;\; \dot{I}_2 = \frac{-\dot{E}}{\dot{Z}_1 + \dot{Z}_2 +\frac{\dot{Z}_1 \dot{Z}_2}{ \dot{Z}_m}}$$ 特に、$$\dot{Z}_1 = j\left\{\omega (L_1 - M) - \frac{1}{\omega C_1} \right\} , \;\;\; \dot{Z}_2 = j\left\{\omega (L_2 - M) - \frac{1}{\omega C_2} \right\} , \;\;\; \dot{Z}_m = j \omega M$$のとき、以下のことが言える。
１）一次回路に二次回路を結合させると、電源から見た抵抗が増加する。リアクタンスは、正負の値をとるため、増加する場合も減少する場合もある。
２）結合回路では共振周波数は2点で生じる。
３）共振曲線は双峰特性をもつ双峰共振曲線となる。結合を疎にする（$k$を小さくする）ほど両共振周波数は近づき、ある結合以下では、両者は一致する。結合係数$k$の大きい場合（おおよそ$k \ge 0.5$）は密結合、小さい場合（おおよそ$k \le0.2$）は疎結合と言われる。

結合回路の特性【例】（LTspice）

LTspiceを使って、双峰共振曲線を求めてみる。
各パラメータは、以下とする。
$L_1 = 1\; mH , \; L_2 = 1 \; mH , \\ C_1 = 0.1 \; \mu F, \; C_2 = 0.1 \; \mu F $として、結合係数$k=0.05\;(M=0.05\; mH)$と$k=0.5\;( M=0.5\; mH)$の場合を比較する。LTspiceで描いた回路図を「結合回路のシミュレーション」に示す。