15. オブザーバの構造

状態フィードバックでは、基本的には全ての状態変数が直接観測可能と仮定しているが、実際にはそのような場合は多くない。このときには、制御入力と測定出力から状態変数を再現すればよい。このような仕組みをオブザーバ、あるいは、状態観測器という。制御対象の状態方程式、出力方程式を、 $$\boldsymbol{\dot{x}}(t) = \boldsymbol{Ax}(t) + \boldsymbol{Bu}(t) \;\; :\;\boldsymbol{A}(n \times n), \;\; \boldsymbol{B}(n \times m) \; \cdots (1)\\ \boldsymbol{y}(t) = \boldsymbol{Cx}(t) \;\; :\; \boldsymbol{C}(l \times n) \; \cdots (2)$$ とする。測定出力は、$l$次元である。それぞれの出力は独立で、$\mathrm{rank}(\boldsymbol{C}) = l$で($\boldsymbol{C, \; A}$）は可観測とする。

式(1)、式(2)に対して、同一の次元のシステム（同一次元オブザーバ） $$\boldsymbol{\dot{\hat{x}}}(t) = (\boldsymbol{A - KC}) \boldsymbol{\hat{x}} (t)+ \boldsymbol{Ky}(t) + \boldsymbol{B u}(t)\; \cdots (3)$$ を制御対象に接続する。（図「同一次元オブザーバ」）ここで、$\boldsymbol{K} \; (n \times l)$はゲイン行列と呼ばれ、とくに１出力$(l=1)$で、$\boldsymbol{C=c}\;(1 \times n)$となるときには、$\boldsymbol{K}$は列ベクトル$\boldsymbol{k}\;(n \times 1)$となり、ゲインベクトルという。
$\boldsymbol{x}(t)$と$\boldsymbol{\hat{x}}(t)$の誤差ベクトルは、 $$\boldsymbol{e} (t) = \boldsymbol{\hat{x}}(t) - \boldsymbol{x}(t)$$ となる。これに、式(1),(2),(3)を代入して整理すると、 $$\boldsymbol{\dot{e}}(t) = \boldsymbol{\dot{\hat{x}}}(t) - \boldsymbol{\dot{x}}(t) \\=(\boldsymbol{A-KC})\boldsymbol{\hat{x}}(t) +\boldsymbol{KCx}(t) + \boldsymbol{Bu}(t) - (\boldsymbol{Ax}(t) + \boldsymbol{Bu}(t)) \\=(\boldsymbol{A-KC})(\boldsymbol{\hat{x}}(t) -\boldsymbol{x}(t))$$ なので、 $$\boldsymbol{\dot{e}}(t) = ( \boldsymbol{A - KC})\boldsymbol{e}(t) \;\;\;\;\;\;\;\boldsymbol{e}(0) = \boldsymbol{\hat{x}}(0) - \boldsymbol{x}(0)$$ となる。従って、その解は、 $$\boldsymbol{e}(t) = \mathrm{exp}[(\boldsymbol{A - KC})t]\cdot \boldsymbol{e}(0)$$ である。この解より、$\boldsymbol{A - KC}$　を安定行列にすれば、どんな初期推定誤差$\boldsymbol{e}(0)$に対しても、$t \rightarrow \infty$　で　$\boldsymbol{e}(t) \rightarrow \boldsymbol{0}$、すなわち、$\boldsymbol{\hat{x}}(t) \rightarrow \boldsymbol{x}(t)$　となる。ここで、$\boldsymbol{A - KC}$ の固有値を同一次元オブザーバの極といい、これを複素平面の左半平面のより左側に設定すれば、より速く $\boldsymbol{\hat{x}}(t) \rightarrow \boldsymbol{x}(t)$ とできる。

式(3)を変形すると、 $$\boldsymbol{\dot{\hat{x}}}(t) = (\boldsymbol{A - KC}) \boldsymbol{\hat{x}}(t) + \boldsymbol{KCx}(t) + \boldsymbol{B u}(t) \\=\boldsymbol{A \hat{x}}(t) + \boldsymbol{Bu}(t) - \boldsymbol{KCe}(t)$$ と表せるので、同一次元オブザーバは図「制御対象モデル型の同一次元オブザーバ」のように描ける。この場合、オブザーバは制御対象のモデルと見なすことができる。