17. 差動増幅器、ボルテージフォロワ、加算器

オペアンプを利用した各種回路を説明する。オペアンプを使った回路の基本設計では、オペアンプを理想オペアンプと考える。また、基本的に負帰還をかけるので、入力端子\(+\)と\(-\)間は、バーチャルショート（仮想短絡）が成立しているものとする。

差動増幅器

図１はオペアンプを利用した差動増幅器の基本回路図である。入力信号は、\(v_{i1}\)と\(v_{i2}\)で、これらの差を増幅して出力信号\(v_o\)を得る。オペアンプの入力インピーダンスは\(\infty\)なので、\(i_+ = i_- = 0\)である。そのため、図１の\(a\)点の電圧\(v_a\)は、$$v_{i2} = (R_1 + R_2) i_2 ,\;\;\;\; v_a = R_2 i_2\\ v_a = \frac{R_2}{R_1 + R_2} v_{i2}$$となる。バーチャルショートより、\(b\)点の電圧\(v_b\)は、\(v_b = v_b\)である。従って、$$v_{i1} - v_b = R_1 i_1 \\ v_o -v_b = -R_2 i_1$$整理すると、$$v_o = \frac{R_2}{R_1}\left(v_{i2} - v_{i1}\right) = -\frac{R_2}{R_1}\left(v_{i1} - v_{i2}\right) \;\;\;\cdots (1)$$であり、出力電圧\(v_o\)は、入力電圧\(v_{i1}\)と\(v_{i2}\)の差を増幅したものとなっている。
図２は、差動増幅器のLTspice回路図である。また、図３は、\(v_{i1}\)を振幅0.1 V、周波数1 kHzの正弦波とし、\(v_{i2}\)を同振幅、同周波数で逆相としたときのシミュレーション結果である。出力voは、式（1）から、$$v_o = - \frac{R2}{R1}(v_{i1} - v_{i2}) = -10(v_{i1} - v{i2})$$なので、振幅2.0 Vの正弦波となる。また、\(-10\)倍なので、\(v_o\)と\(v_{i1}\)は逆相となる。なお、\(v_{i1}\)と\(v_{i2}\)が同振幅、同周波数、同位相なら\(v_o\)は、ほぼ０となる。

ボルテージフォロワ

図４がボルテージフォロワの回路図である。ボルテージフォロワでは、$$v_i = v_o$$となり、電圧増幅度は１である。電流増幅度はオペアンプ自体の仕様による。ボルテージフォロワの特徴は、
・入力インピーダンスは非常に大きい：\(Z_i = \infty\)
・出力インピーダンスは非常に小さい：\(Z_o=0\)
・電圧増幅度１（\(0\; dB\)）
である。インピーダンス変換器として使用することが多い。
図５は非反転増幅回路の回路図である。この回路の電圧増幅度は、$$A_{vf} =1 + \frac{R2}{R1} \;\;\;\cdots (2)$$である。 ここで、\(R_1\)を取り外し、\(R_2 = R_3 = 0\)とすると、図４のボルテージフォロワになる。電圧増幅度は、式（2）で\(R_1 = \infty\)とすると、$$A_{vf} = 1$$となることがわかる。 図４で考えると、\(Z_i = \infty\)より、\(a\)点の電圧は\(v_i\)であり、バーチャルショート（\(v^{'}=0\)）より、\(b\)点の電圧は\(v_i\)である。その結果、\(v_o = v_i\)となる。

加算器

図６は、２入力の加算器である。昔は、アナログコンピュータの加算器として使われていた。
図６より、バーチャルショートが成立しているとすると、\(a\)点の電圧\(v_a\)と\(b\)点の電圧\(v_b\)は等しいので、\(v_b = 0\)である。また、オペアンプの入力インピーダンス\(Z_i =\infty\)なので、\(i_f = i_1 + i_2\)である。$$i_1 = \frac{v_1}{R_1} ,\;\; i_2 = \frac{v_2}{R_1} \\ v_o = - i_f R_f = -(i_1 + i_2)R_f\\ v_o=-\left(\frac{v_1}{R_1} + \frac{v_2}{R_1} \right)R_f= - \frac{R_f}{R_1}(v_1 + v_2)$$となる。\(R_f = R_1\)とすれば、\(v_o = v_1 + v_2\)と出力電圧は２つの入力電圧の和となる。

\(a_n\)を求めるために、$$f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right)$$この両辺に\(\cos m \omega t\)を掛けると、$$f(t) \cos m \omega t = \left\{ a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right) \right\} \cos m \omega t$$ 両辺を積分する。$$\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos m \omega t dt = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left\{ a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right) \right\} \cos m \omega t dt \\ = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_0 \cos m \omega t dt + \sum_{n=1}^{\infty} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right) \cos m \omega t dt \\ = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_0 \cos m \omega t dt + a_m \frac{T}{2} = a_m \frac{T}{2}$$よって、\(m\)を\(n\)に置き変えると、$$ a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}} ^{\frac{T}{2}} f(t) \cos n \omega t dt$$となる。
次に、\(b_n\)を求めるために、$$f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right)$$この両辺に\(\sin m \omega t\)を掛けると、$$f(t) \sin m \omega t = \left\{ a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right) \right\} \sin m \omega t$$ 両辺を積分する。$$\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \sin m \omega t dt = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left\{ a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right) \right\} \sin m \omega t dt \\ = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_0 \sin m \omega t dt + \sum_{n=1}^{\infty} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right) \sin m \omega t dt \\ = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_0 \sin m \omega t dt + b_m \frac{T}{2} = b_m \frac{T}{2}$$よって、\(m\)を\(n\)に置き変えると、$$ b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}} ^{\frac{T}{2}} f(t) \sin n \omega t dt$$となる。
さらに、\(a_0\)を求めるために、$$f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right)$$この両辺を積分する。$$\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) dt = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left\{ a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right) \right\} dt \\ = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_0 dt + \sum_{n=1}^{\infty} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left( a_n \cos n \omega t+ b_n \sin n \omega t \right) dt \\ = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_0 dt = a_0 T$$よって、$$a_0 = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) dt$$となる。

フーリエ級数展開例

方形波

方形波（Square Wave）（図９）は、周期 \(T\)で周期的に変化する信号で、一定の振幅を持つ部分が\(T/2\) の時間だけ正の振幅を持ち、残りの\(T/2\)の時間は負の振幅を持つ波形である。
方形波のフーリエ級数展開は、$$f(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1,3,5,\dots}^{\infty} \frac{\sin n \omega_0 t}{n}$$となる。

ここで、\(f(t)\)は方形波の関数、\(f_0\)は方形波の基本周波数で、\(f_0 = \frac{1}{T} ,\;\;\; \omega_0 = 2 \pi f_0\) である。（\(T\) は方形波の周期）
このフーリエ級数展開は、奇数の倍数のサイン関数の無限和で表されている。各項は\(\frac{1}{n}\)の係数を持ち、\(n\)が増えるにつれて高次の成分が加わる。

三角波

三角波（Triangle Wave）（図１０）は周期的な波形である。
三角波のフーリエ級数展開は、$$f(t) = \frac{8}{\pi ^2} \sum_{n = 1,3,5,\dots}^{\infty} \frac{\sin (2n-1)\omega_0 t}{(2n-1)^2}$$となる。

ここで、\(f(t)\)は三角波の関数​、\(\omega_0\)は三角波の基本角周波数で、\(\omega_0 = \frac{2 \pi}{T}\)である。（\(T\)は三角波の周期）
このフーリエ級数展開では、奇数の倍数のサイン関数の無限和で表されています。各項は\(\frac{1}{(2n -1)^2}\) の係数を持ち、\(n\) が増えるにつれて高次の成分が加わる。