6-1. 畳み込み積分のラプラス変換

畳み込み積分（Convolution Integral）は、制御工学、信号処理、画像処理などの分野でよく使われる数学的な操作である。畳み込みは、2つの関数を組み合わせて新しい関数を生成する操作となっている。２つの連続関数$f(t) \; g(t)$の畳み込みは、$\ast$記号を使って、$f(t) \ast g(t)$と表記する。また、畳み込み積分のラプラス変換は、それぞれの関数のラプラス変換の積となる。 $$\mathcal{L} \{ f(t) \ast g(t) \} = F(s)G(s), \;\;\;\;\; F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} , \;\; G(s) = \mathcal{L} \{g(t)\}$$

畳み込み積分

2つの連続関数$f(t)$ と $g(t)$ の畳み込み積分は、 $$f(t) \ast g(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) d\tau$$ で定義される。ここで、“$\ast$”は畳み込み演算子を表す。畳み込み積分は、$g(t)$ を時間軸に沿って平行移動しながら$f(t)$に重ねて足し合わせた結果を表している。なお、積分範囲は関数の定義域に依存する。

因果システムであれば、$g(t) = 0 \;\;\;(t < 0)$なので、 $$y(t) = \int_{-\infty}^{t} g(t - \tau)x(\tau) d \tau$$ であり、変形すると $$y(t) = \int_{0}^{\infty} g(\tau)x(t-\tau) d \tau$$ となる。さらに、入力信号が$x(t)=0 \;\;\;(t<0)$であれば、 $$y(t) = \int_{0}^{t} g(\tau)x(t-\tau) d \tau$$ とできる。

畳み込み積分のラプラス変換

畳み込み積分で表された信号$y(t)$ $$y(t) = \int_{0}^{t} g(\tau)x(t-\tau) d \tau$$ のラプラス変換を考える。 $$\mathcal{L}\{y(t)\} = \int_0^{\infty}y(t)e^{-st} dt = \int_0^{\infty} \left[\int_0^{t} g(\tau)x(t - \tau)d \tau \right] e^{-st} dt \\ = \int_0^{\infty} \left[ \int_0^{\infty} g(\tau)x(t - \tau)d \tau \right]e^{-st} dt \\ = \int_0^{\infty} g(\tau) \left[ \int_{\tau}^{\infty} x(t - \tau) e^{-s( t - \tau)} dt \right]e^{-s \tau}d \tau \\ = \int_0^{\infty}g(\tau)e^{-s\tau}d \tau \int_0^{\infty} x(\tau')e^{-s\tau'}d \tau' \cdots\cdots(1)$$ すなわち、$y(t),\;g(t),\;x(t)$のラプラス変換をそれぞれ$Y(s),\; G(s),\;X(s)$とすると、式(1)は、 $$Y(s) = G(s)X(s)$$ と表せる。以上から、時間領域の畳み込み積分は、ラプラス変換後の複素数領域では積の形となることがわかる。