13. FIRフィルタの設計

理想低域フィルタのインパルス応答

図１に理想LPFの周波数特性例を示す。このような理想LPFの伝達関数は、$$H(\Omega) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & (|\Omega| < \Omega_c) \\ 0 & (\Omega_c < |\Omega| < \pi) \end{array} \right.$$ である。このインパルス応答\(h(n)\)は、$$h(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} H_d(\Omega)e^{j \Omega n} d \Omega \\ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\Omega_c}^{\Omega_c} e^{j \Omega n} d \Omega \\ = \frac{1}{2\pi} \frac{1}{j n} \left[e^{j \Omega n} \right]_{-\Omega_c}^{\Omega_c} \\ = \frac{1}{2\pi} \frac{1}{j n} \left(e^{j \Omega_c n} - e^{-j \Omega_c n}\right) \\ = \frac{\sin \Omega_c n}{n \pi}$$となる。ここで、\(\Omega_c = \frac{\pi}{4}\)のときは、$$h(n) = \frac{\sin(n\pi/4)}{n \pi} \\ = \frac{1}{4} \frac{\sin(n \pi /4)}{n \pi /4} \\ = \frac{1}{4} \rm{sinc}(n \pi /4) $$である。ここで、\(\rm{sinc}\)関数を$$\rm{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}$$と定義する。
図２が理想LPFのインパルス応答である。この図のように理想LPFのインパルス応答は、\(-\infty<n<\infty\)の無限区間に広がることになる。

　　　　　　Scilabスクリプト
//理想LPFのインパルス応答
clear; clf();
pi=%pi;
n=-20:1:20;
h=(1/4)sinc(n*pi/4);　//sinc関数を使用
plot(n,h,'.')

FIRフィルタ設計の基本

理想低域フィルタのインパルス応答は、$$h(n) = \frac{\Omega_c}{\pi} \rm{sinc}(n \Omega_c)$$で与えられる。このインパルス応答の係数から低域FIRフィルタを基本的には実現できるが、問題点が２点ある。つまり、
１）インパルス応答が無限区間に存在しているので、実装不可能。
２）インパルス応答が負の領域にも存在するので、因果性に反する。
の2点である。１）は、無限系列\(h(n)\)のインパルス応答を適当な区間で打ち切り有限数列とする。また、２）は、一定の遅延時間を与えた係数を用いる。以上により、\(\Omega_c = \frac{\pi}{4}\)としたときのインパルス応答列を図３-１～３のようにインパルス応答列を\(N=\pm 10\)で打ち切り、10ずらすことで、実装が可能となる。
表１にフィルタの係数を示す。係数は、\(n=10\)を中心に対称である。このようにして得られた基本的な低域FIRフィルタの周波数特性を図４に示す。

　　　Scilabスクリプト
//周波数特性
clear; clf();
pi=%pi;z=%z;
M=200; N=10;
//理想LPFのインパルス応答
n=-M:1:M;
h=(1/4)*sinc(npi/4);
scf(0);plot(n,h,'.');
//インパルス応答の打ち切り
n=-N:1:N;
h=(1/4)*sinc(npi/4);
scf(1);plot(n,h,'.');
//インパルス応答のシフト（FIRフィルタの係数計算）
n=n+N;
scf(2);plot(n,h,'.');
T=1;
//FIRフィルタの伝達関数
Hz = h(1);
for n=1:2*N,
Hz = Hz + h(n+1).*z^-n;
end;
//システム関数に変換
Hzz=syslin(T,Hz);
//ボード線図の描画
scf(3);bode(Hzz,0.01,4,'rad');

窓関数法

理想低域フィルタのインパルス応答列を途中で打ち切りFIRフィルタを実装した場合、図４の周波数特性に見られるようにリップル（変動）や遮断周波数（\(\Omega_c =\pi/4\)）近傍の減衰性の劣化が見られる。図３の例では、インパルス応答列を\(N=\pm 10\)で打ち切ったが、打ち切り範囲を\(N=\pm 100\)まで広げると、図５のようになる。このインパルス応答列を元に低域FIRフィルタを構成して、周波数特性を求めると図６のようになる。このようにインパルス応答列の範囲を広げることで、周波数特性の遮断周波数（\(\Omega_c =\pi/4\)）近傍では、理想LPFの特性に近くなる。しかし、この方法では演算量が多くなり実装が難しくなる。例えば、図６の例では係数との乗算だけで200回必要となり、さらに加算も必要となる。そこで、無限に続くインパルス応答を打ち切る際に、適当な重み関数\(w(n)\)を掛けると遮断周波数近傍におけるリップルを抑えることができる。この重み関数を用いるFIRフィルタの設計法を窓関数法という。窓関数の関数形の例を表２に示す。

図７は、\(M=20\)としたときのHanning窓、Hamming窓、Blackman窓の形状である。
適当な窓関数を理想低域フィルタのインパルス応答に掛け合わせることにより、打ち切りの影響を低減する。なお、時間領域の積のフーリエ変換は、周波数領域では畳み込みの関係となる。
図８は、図３のインパルス応答列にHanning窓を掛けた結果である。図９は、Hanning窓を掛けた場合の周波数特性である。図１０は、Hamming窓を掛けた場合の周波数特性である。図１１は、Blackman窓を掛けた場合の周波数特性である。いずれも図３と比較してリップルが減少していることがわかる。遮断特性を改善するには、\(N\)を増やす必要があるが、窓を適切に掛けることにより、リップルを減少させることができる。Scilabスクリプトを下記に示すので、各種の窓の効果、打ち切り範囲による効果を試して欲しい。

Scilabスクリプト（窓関数法）

//窓関数
clear; clf();
pi=%pi; z=%z;
M=50;
k=0:1:M;
//Hanning
w1=(1/2)*(1-cos((2*pi*k)/M));
//Hamming
w2=0.54-0.46*cos((2*pi*k)/M);
//Blackman
w3=0.42-0.5cos*((2*pi*k)/M) + 0.08*cos((4*pi*k)/M);
scf(0); plot(k, [w1' w2' w3'],'.');

L=200; N=M/2;
//理想LPFのインパルス応答
n=-L:1:L;
h=(1/4)*sinc(n*pi/4);
scf(1); plot(n,h,'.');
//インパルス応答の打ち切り
n=-N:1:N;
h=(1/4)*sinc(n*pi/4);
scf(2); plot(n,h,'.');
//インパルス応答のシフト（FIRフィルタの係数計算）
n=n+N;
scf(3);plot(n,h,'.');
//窓関数とインパルス応答の積
wh=w1.*h;//適当な窓関数を選択する
scf(4); plot(n,wh,'.');

T=1;
//窓関数を適用したFIRフィルタの伝達関数
Hz = wh(1);
for n=1:M,
Hz = Hz + wh(n+1).*z^-n;
end;
//システム関数に変換
Hzz=syslin(T,Hz);
//ボード線図の描画
scf(5); bode(Hzz,0.01,4,'rad');