23. 可観測性（演習）
tctyam※可観測性の解説は、11. 可観測性 、9. 対角正準形 を参照願います。
システムを$$\dot{x}(t) = A x(t) + b u(t) \\ y(t) = cx(t) \;\; \cdots \cdots (1) $$で表す１入力１出力の\(n\)次元システムとする。
可観測性の条件
可観測性は以下のように表すことができる。
（1）式(1)を対角正準形で表現したとき、すべての\(\tilde{c}_i\)がゼロでないとき、システムは可観測である。
（2）ある有限な時刻\(t_f\)があり、\(0 \le t \le t_f\)での\(y(t)\)と\(u(t)\)から初期状態\(x(0)\)を一意に決定できるとき、システムは可観測という。初期状態\(x(0)\)を一意に求めることができるとき、入力\(u(t),\; t \geq 0\)が既知であるので、状態\(x(t), \; t \geq 0\)が分かる。
（3）式(1)のシステムが可観測であるための必要十分条件は、\(n\)次の正方行列である可観測性システム行列 $$W_o(t) = \int_0^t (c e^{A \tau})^T (c e^{A \tau}) d \tau$$が、ある時刻\(t = t_f >0\)で正則となることである。
（4）式(1)のシステムが可観測であるための必要十分条件は、可観測行列$$U_o = \begin{bmatrix} c & cA & c A^2 & \cdots & c A^{n-1} \end{bmatrix}^T$$のランクが\(n\)、\(|U_o| \neq 0\)となることである。
可観測行列
可観測行列の正則性は、座標変換によって不変であることを示す。
座標変換\(x(t)=T z(t)\)によって、システムの行列が、\(\tilde{A} = T^{−1} A T , \tilde{c} = c T\)に変換されたとすると、状態変数z(t)における可観測行列は、$$\tilde{U}_o = \begin{bmatrix} \tilde{c} \\ \tilde{c}\tilde{A} \\ \tilde{c} \tilde{A}^2 \\ \vdots \\ \tilde{c} \tilde{A}^{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c T \\ cT T^{-1} A T \\ c T T^{-1} A^2 T \\ \vdots \\ cT T^{-1}A^{n-1} T\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ cA \\ cA^2 \\ \vdots \\c A^{n-1} \end{bmatrix} T = U_o T$$ となる。座標変換行列\(T\)は正則であるから、可観測行列の正則性は座標変換によって不変である。
可観測性の判定
システムを$$ \dot{x}(t) = A x(t) + b u(t) \\ y(t) = cx(t)$$として、\(A,\;c\)が以下のときの可観測性を判定する。
１）$$A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}, \;\;\; c = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}$$
２）$$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} ,\;\;\; c = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$
Scilabによる可観測性の判定
１）
A = [4 2 ; -1 1];
c = [1 1];
//可観測行列の計算
Ob = obsv_mat(A,c);
disp(det(Ob));//行列式の計算
disp(rank(Ob));//ランクの計算
実行結果：
Ob =
1. 1.
3. 3.
disp(det(Ob)
0.
disp(rank(Ob))
1.
よって、不可観測
２）
A = [0 0 0 ; 1 0 0 ; 0 1 0];
c = [0 0 3];
//可観測行列の計算
Ob = obsv_mat(A,c);
disp(det(Ob));//行列式の計算
disp(rank(Ob));//ランクの計算
Ob =
0. 0. 3.
0. 3. 0.
3. 0. 0.
disp(det(Ob)
-27.
disp(rank(Ob))
3.
よって、可観測
