23. 可観測性（演習）

※可観測性の解説は、11. 可観測性 、9. 対角正準形　を参照願います。

システムを $$\dot{x}(t) = A x(t) + b u(t) \\ y(t) = cx(t) \;\; \cdots \cdots (1)$$ で表す１入力１出力の$n$次元システムとする。

可観測性の条件

可観測性は以下のように表すことができる。
（1）式(1)を対角正準形で表現したとき、すべての$\tilde{c}_i$がゼロでないとき、システムは可観測である。
（2）ある有限な時刻$t_f$があり、$0 \le t \le t_f$での$y(t)$と$u(t)$から初期状態$x(0)$を一意に決定できるとき、システムは可観測という。初期状態$x(0)$を一意に求めることができるとき、入力$u(t),\; t \geq 0$が既知であるので、状態$x(t), \; t \geq 0$が分かる。
（3）式(1)のシステムが可観測であるための必要十分条件は、$n$次の正方行列である可観測性システム行列 $$W_o(t) = \int_0^t (c e^{A \tau})^T (c e^{A \tau}) d \tau$$ が、ある時刻$t = t_f >0$で正則となることである。
（4）式(1)のシステムが可観測であるための必要十分条件は、可観測行列 $$U_o = \begin{bmatrix} c & cA & c A^2 & \cdots & c A^{n-1} \end{bmatrix}^T$$ のランクが$n$、$|U_o| \neq 0$となることである。

可観測行列

可観測行列の正則性は、座標変換によって不変であることを示す。
座標変換$x(t)=T z(t)$によって、システムの行列が、$\tilde{A} = T^{−1} A T , \tilde{c} = c T$に変換されたとすると、状態変数z(t)における可観測行列は、 $$\tilde{U}_o = \begin{bmatrix} \tilde{c} \\ \tilde{c}\tilde{A} \\ \tilde{c} \tilde{A}^2 \\ \vdots \\ \tilde{c} \tilde{A}^{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c T \\ cT T^{-1} A T \\ c T T^{-1} A^2 T \\ \vdots \\ cT T^{-1}A^{n-1} T\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ cA \\ cA^2 \\ \vdots \\c A^{n-1} \end{bmatrix} T = U_o T$$ となる。座標変換行列$T$は正則であるから、可観測行列の正則性は座標変換によって不変である。