12. 高階微分方程式（微分方程式）新着!!
高階微分方程式とは、微分の次数が２以上の微分方程式を指す。たとえば、３階の微分方程式は$$y^{(3)} + p(x)y'' + q(x)y' + r(x)y = g(x)$$のような形式となる。ここで、\(y^{(3) […]
11. １階微分方程式（微分方程式）
簡単な現象論的モデルは１階微分方程式になることが多い。１．放射性元素の崩壊放射性元素は一定の割合で崩壊するので、次の１階の微分方程式でモデル化される。$$\frac{dN}{dt} = -\lambda N \;\;\; […]
10. 常微分方程式（微分方程式）
常微分方程式（Ordinary Differential Equation：ODE）は、未知の関数とその導関数を含む方程式のことである。常微分方程式は、関数の変化を記述するために使われ、しばしば時間や空間など、1つの独立 […]
9. ガンマ関数とベータ関数（微積分学）
ガンマ関数 ガンマ関数は、自然数に対して定義される階乗の概念を連続数に一般化した関数である。ガンマ関数は複素数の実部が正の領域において定義され、特に実数の範囲で広く利用される。 式(1)で\(\nu\)を\(\nu + […]
8. ローラン展開（微積分学）
正則な複素関数のテイラー展開 初等関数\(1/(1+x)\)のテイラー展開は、$$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n \;\;\; \cdots (1)$$である […]
7. 解析関数（微積分学）
解析関数とは、ある点の近傍で無限回微分可能であり、かつその点におけるテイラー展開がその近傍で収束するような関数のことを指す。複素変数\(z\)の関数\(w = f(z)\)が微分可能なとき、すなわち、$$\lim_{\D […]
6. テイラー展開（微積分学）
ある区間で連続な関数は、その区間において\(C^0\)級であるという。同様に、ある区間で\(n\)回微分可能で\(n\)階導関数が連続な関数は、その区間で\(C^n\)級であるという。何回も微分可能ならば\(C^{\in […]
5. 積分（微積分学）
積分の定義は、微分の逆演算と関数のグラフをヒストグラムの極限と見た時の面積という２つの面がある。※微小量、微分の記法などについては、 4. 微分（微積分学）を参照願います。 微分の逆演算としての積分 \(F(x)\)の導 […]
4. 微分（微積分学）
微分法 ニュートンは、瞬間における速度や加速度を定義するために微分の概念を導入した。時間の関数をグラフに描いたとき、その曲線への接線の勾配を微分係数という。ライプニッツは、独立変数の微小変化に対する関数の変化の比率を考え […]
3. 初等関数（微積分学）
初等関数（elementary function）とは、数学において基本的でよく知られた関数の総称で、以下のような関数が初等関数として挙げられる。１．多項式関数（代数関数）（例:\( f(x) = x^2 + 3x + […]
2. 行列式（線形代数）
行列式とは、正方行列に対して定義される量で、歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。幾何的には、線型変換に対して線形空間の拡大率ということができる。つまり、行列式は、行列がどれくらい空間を「 […]
1. 行列と行列の演算（線形代数）
線形代数は、ベクトル空間と線形写像に関する理論と応用を扱う。制御工学、特に現代制御理論では重要な数学ツールとなっている。線形代数は、次の概念や操作を含む。１．ベクトルとベクトル空間：ベクトルは数値の集合であり、方向と大き […]